Exercice 1

1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation :
\(\sqrt[3]{{x + a}} + \) \(\sqrt[3]{{x + a + 1}} = \) \( - \sqrt[3]{{x + a + 2}}\)
2. Résoudre dans \({\mathbb{R}^2}\) le système d’équations
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{5}{{{x^2} - xy}} + \frac{4}{{{y^2} - xy}} = - \frac{1}{6}\\\frac{7}{{{x^2} - xy}} - \frac{3}{{{y^2} - xy}} = \frac{6}{5}\end{array} \right.\)
3. Simplifier et calculer l’expression
\({\left( {\frac{{x - 9}}{{x + 3{x^{\frac{1}{3}}} + 9}}:\frac{{{x^{0,5}} + 3}}{{{x^{1,5}} - 27}}} \right)^{0,5}} - {x^{0,5}}\)
4. Sachant que \(\tan \frac{\alpha }{2} = m\), déterminer la valeur de l’expression
\(A = \frac{{1 - 2{{\sin }^2}(\frac{\alpha }{2})}}{{1 + \sin (\alpha )}}\)
5. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f définie par :
\(f(x) = \) \(\sqrt {{{\log }_{\frac{1}{3}}}({{\log }_3}(\left| {x - 3} \right|))} \)
NB: \({\log _a}(b) = \frac{{\ln (b)}}{{\ln (b)}}\), \(a \ne 1\) \(a \succ 0\) et \(b \succ 0\)
6. Soit \(f(x) = \) \({\cos ^4}(x) + \) \({\sin ^4}(x)\)
Déterminer la valeur du nombre \(f(\alpha )\) sachant que \(\sin 2\alpha = \frac{2}{3}\)

Exercice 2

Soit SABC une pyramide triangulaire de base ABC dont les côtés AB, AC, et SA sont divisés par les points K, M et N en segment respectifs tels que :
\(\frac{{\left| {AK} \right|}}{{\left| {KB} \right|}} = \frac{3}{4}\); \(\frac{{\left| {AM} \right|}}{{\left| {MC} \right|}} = \frac{5}{6}\); \(\frac{{\left| {AN} \right|}}{{\left| {NS} \right|}} = \frac{5}{9}\)
1. Faire une figure
2. Déterminer le rapport des volumes des solides obtenus après une coupe suivant le plan (KMN) de la pyramide SABC.