Partie A: Évaluation des ressources / 15 pts

Exercice 1 : 4 pts

Recopions le numéro de 1a question suivi de la lettre correspondant à la réponse juste. 1x4 = 4 pt
1-b ;
2-a ;
3-c ;
4-b.

Exercice 2 : 6 pts

1) Représentons le nuage des points associe à cette série statistique. 2 pts
2) calculons les coordonnées \(\left( {\overline x ,\overline y } \right)\) du point moyen G. 0,5 pt
• \({\overline x = }\) \({\frac{{10 + ... + 15}}{6}}\) \({ = 12,5}\)
• \({\overline y = \frac{{122 + ....153}}{6}}\) \({ = 139}\)
Donc \(G\left( {12,5;136} \right)\)
3) a) Déterminons les coordonnées des points moyens \({G_1}\) et \({G_2}\) des séries statistiques (\({S_1}\)) et (\({S_1}\)) respectivement. 1 pt
\({x_1} = \) \(\frac{{10 + 11 + 12}}{3}\) \( = 11\) et \({y_1} = \) \(\frac{{122 + 130 + 135}}{3}\) \( = 129\) d’où \({G_1}(11;129)\)
\({x_2} = \) \(\frac{{13 + 14 + 15}}{3}\) \( = 14\) et \({y_2} = \) \(\frac{{144 + 150 + 153}}{3}\) \( = 149\) d’où \({G_2}(14;149)\)
b) Montrons qu'une équation de la droite d'ajustement par la méthode de Mayer est : \(y = \frac{{20}}{3}x\) \( + \frac{{167}}{3}\) 1 pt
en effet, \(a = \frac{{149 - 129}}{{14 - 11}}\) \( = \frac{{20}}{3}\) et \(b = 149 - \frac{{20}}{3}\) \( \times 14 = \frac{{167}}{3}\)
D'où l'équation \(y = \frac{{20}}{3}x\) \( + \frac{{167}}{3}\)
c) Donnons une estimation à \({10^{ - 2}}\) près de la masse de cacao brut nécessaire pour la production de 25 grammes de beurre de cacao. 0,5 pt
\(y = \frac{{20}}{3} \times 25\) \( + \frac{{167}}{3} = \) \(222,33g\)
4) Déterminons la probabilité pour deux femmes exactement soient primées. 1 pt
\(p = \frac{{C_4^2C_6^1}}{{C_{10}^3}}\) \( = 0,3\)

Exercice 3 / 5 points

l. a) Calculons la limite de \(f\) en \( + \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - 1 + {e^{x + 1}}} \right)\) \( = + \infty \) 0,25 pt
b) Montrons que \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - 1\) puis déduisons-en une équation de l'asymptote à \(\left( {Cf} \right)\) en \({ - \infty }\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - 1 + {e^{x + 1}}} \right)\) \( = 1 - 0 = - 1\)
Donc la droite d'équation \(y = - 1\) est asymptote à la courbe \(\left( {Cf} \right)\) en \({ - \infty }\) 0,5 pt
2. a) Montrons que pour tout réel \(x\), \(f'(x) = {e^{x + 1}}\) 0,75 pt
On a \(f'(x) = \) \(( - 1)' + ({e^{1 + x}})'\) \( = {e^{1 + x}}\) D'où le résultat
b) Donnons le signe de \(f'(x)\) et déduisons-en le sens de variation de \(f\) sur \(R\) 0.5 pt
Pour tout réel réel \(x\), \(f'(x) \succ 0\). Donc \(f\) est strictement croissante sur \(R\).
3. Déterminants la solution dans \(R\) de l'équation \(f(x) = 0\) puis déduisons-en les coordonnées du point \(A\) d'intersection de \(\left( {Cf} \right)\) avec l'axe des abscisses.
\(f(x) = 0 \Rightarrow \) \( - 1 + {e^{1 + x}} \Rightarrow \) \({e^{1 + x}} = 1\) ainsi \(x - 1 = \ln 1\) \( \Rightarrow x = - 1\). Donc \(A( - 1;0)\) est le point d'intersection de \(\left( {Cf} \right)\) avec l'axe des abscisses.v 1 pt
4. Ecrivons une équation de la tangente \(\left( {T} \right)\) à \(\left( {Cf} \right)\) au point d'abscisse \(0\).
\(\left( T \right):y'(0)(x - 0)\) \( + f(0) = ex\) \( + e - 1\) 1pt
l 5. a) Montrons que \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(R\).
Pour tout réel, \(xF'(x) = \) \(( - x)' + (x + 1)'\) \({e^{x + 1}} = - 1\) \( + {e^{x + 1}} = \) \(f(x)\), Donc \(F\) est une primitive de \(f\)
b) Déterminons la primitive \(H\) de \(f\) qui prend la valeur \(-2\) en \(-1\).
\(H(x) = - x\) \( + {e^{x + 1}} + k\) avec \(k \in R\),\(H( - 1) = - 2\) nous donne \(k = - 4\)
Donc \(H(x) = - x\) \( - 4 + {e^{x + 1}}\)

Partie B : Évaluation des compétences

Tâche 1 : Déterminons le nombre de jeunes ingénieurs présents au départ
Soit \(x\) ce nombre, on a \(x \succ 0\).
Au départ, chacun doit payer \(\frac{{15000000}}{x}\)
Au dernier moment, 5 personnes décident de ne plus participer. Il reste \((x - 5)\) personnes et chacun doit maintenant payer \(\frac{{15000000}}{{x - 5}}\)
On obtient l'équation \(\frac{{15000000}}{{x - 5}} = \) \(\frac{{15000000}}{x}\) \( + 150000\)
Cette équation devient : \({x^2} - 5x - \) \(500 = 0\)
En résolvant l'équation de second degré, on obtient \(x = - 20\) ou \(x = 25\) or \(x \succ 0\) d'où \(x = 25\)
Donc le nombre de jeunes ingénieurs présents au départ est 25

Tâche 2
Une des données proposées sur l'épreuve ne permet pas d'obtenir le résultat attendu.

Tâche 3 : Déterminons le nombre de plants d’avocatiers, le nombre de plants de manguiers et le nombre d’orangers
Soient \(x\), \(y\) et \(z\) les nombres de plants respectifs d’avocatiers, de manguiers et d’orangers. On a le système suivant :
\(x + y + \) \(z = 1500\)
\(1300x + 1500y\) \( + 1800z = \) \(2250000\)
\(1100x + 1300y\) \( + 1500z = \) \(1910000\)
En résolvant ce système. On obtient : \(\left\{ \begin{array}{l} x = 600\\ y = 500\\ z = 400
\end{array} \right.\)

Présentation 0,5 pt