PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES (15 points)

Exercice 1 : 4 points

Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les quatre propositions. 1 pt x 4
1. La fonction \(x \mapsto \ln \left( { - x} \right)\) a pour ensemble de définition :
a) \(\left] { - \infty ;0} \right[\);
b) \(\left] {0; + \infty } \right[\);
c) \(\left] {1; + \infty } \right[\);
d) ℝ .
2. L’équation dans ℝ : \((2\ln x - 1)[{(\ln x)^2}\) \( - 5\ln x + 6] = 0\) admet comme ensemble de solutions:
a) \(\left\{ {{e^{\frac{1}{2}}};{e^{ - 2}};{e^3}} \right\}\) ;
b) \(\left\{ {{e^{\frac{1}{2}}};{e^2};{e^3}} \right\}\) ;
c) \(\left\{ {{e^{ - \frac{1}{2}}};{e^{ - 2}};{e^{ - 3}}} \right\}\) ;
d) \(\left\{ {{e^{\frac{1}{2}}};{e^{ - 2}};{e^{ - 3}}} \right\}\).
3. Une primitive sur ℝ de la fonction \(x \mapsto {e^{ - 3x + 5}}\) est la fonction :
a) \(x \mapsto - 3{e^{ - 3x + 5}}\);
b) \(x \mapsto 3{e^{ - 3x + 5}}\)
c) \(x \mapsto {e^{ - 3x + 5}}\);
d) \(x \mapsto - \frac{1}{3}{e^{ - 3x + 5}}\).
4) On considère la série statistique double suivante :
Le point moyen du nuage de points de cette série a pour coordonnées :
a) \((655; 70)\);
b) \((665; 70)\);
c) \((655; 75)\);
d) \((660; 75)\).

Exercice 2 : 5 points

Un jeu de hasard consiste à tirer successivement sans remise 2 boules d’un sac qui contient au total 8 boules indiscernables au toucher, dont 2 blanches, 4 noires et 2 rouges. Pour une boule blanche tirée, on gagne 1 000 F ; on perd 500 F si la boule tirée est noire ; et si la boule est rouge, on ne gagne pas et on ne perd pas.
1. A l’issue du tirage des deux boules, quelle somme maximale peut- on gagner ?
Quelle somme maximale peut – on perdre ? 1 pt
2. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : « Un joueur perd 1 000 F » 1 pt
B : « Un joueur gagne 500 F » 1 pt
C : « Un joueur ne gagne ni ne perd» 1 pt
D : « Un joueur gagne 2 000 F » 1 pt

Exercice 3 : 6 points

Soit f la fonction définie sur ℝ par \(?(0) = 2\) et \(?(?) = 2 + ? ln?\) si \(x \ne 0\). On désigne par ( ? ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,I,J).
1. a) Calculer la limite de \(f \)en \( + \infty \).
b) Étudier la continuité de \(f \)à droite de 0.
2. a) Montrer que pour tout réel \(x \succ 0\), \(?′(?) = 1 + ln?\) .
b) En déduire pour tout réel \(x \succ 0\), l'équivalence : \(f'(x) \succ 0\) \( \Leftrightarrow x \in \left] {\frac{1}{e}; + \infty } \right[\)
3. Dresser le tableau de variation de f sur son ensemble de définition.
4. Tracer la courbe ( ? ) (Unité de longueur sur les axes : 1,5 cm)
5. Soit \(?\) la fonction définie sur \(\left] {0; + \infty } \right[\) par : \(F(x) = - \frac{{{x^2}}}{4} + \) \(\frac{{{x^2}\ln x}}{2} + 2x\)
a) Montrer que pour tout réel \(x \succ 0\), \(F'(x) = f(x)\).
b) Déterminer la primitive de f qui s'annule en 1.

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (5 points)

Situation:
En 2015, Monsieur MOUSSA décide de se lancer dans l’élevage et pour cela, il fait l’acquisition d’un terrain rectangulaire dont la superficie est de 3500 m 2 et de périmètre 240 m. Pour la sécurité de son élevage, il décide de clôturer ce terrain tout entier à l’aide d’un grillage dont le mètre coûte 750 FCFA. Pour plus de sécurité, il décide de rajouter une rangée de plus à chacune des deux longueurs. Dans ce terrain, il pratique l’élevage de trois espèces à savoir les poules, les chèvres et les vaches. On dénombre 1275 têtes d’animaux, 4500 pattes et le nombre des chèvres est le double de celui des vaches. Pour un élevage complet d’une poule, Monsieur MOUSSA doit dépenser 8000 FCFA et dispose d’un capital de 2500000 FCFA prévus pour cet élevage. Pour suivre l’évolution de son élevage de vaches, il dresse un bilan annuel de 2015 à 2020 et obtient le tableau ci-dessous :
Il voudrait mieux se préparer pour les dépenses de cet élevage sachant que pour une vache, il dépense en moyenne 15000 FCFA l’année.

Tâches :
1. Quel est le montant nécessaire à la réalisation de cette clôture ? 1,5 pt
2. Son capital suffit-il pour réaliser l’élevage complet de toutes ses poules ? 1,5 pt
3. Combien doit-il prévoir comme dépense pour l’élevage des vaches en 2025 ? 1,5 pt
Présentation 0,5 pt