Cette épreuve est constituée de 2 exercices et d’un problème que chaque candidat traitera obligatoirement
Exercice 1 Épreuve de mathématique au baccalauréat A 2014
EXERCICE 1 (5 points)
On s'est intéressé à l'évolution du nombre de visiteurs d'un site touristique sur 8 années. Les résultats de cette enquête sont consignés dans le tableau ci-dessous :
| Rang de l’année (X) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
| Nombre de visiteurs (Y) |
540 |
560 |
700 |
800 |
875 |
1120 |
1370 |
1500 |
a) Représenter graphiquement le nuage de points de la série statistique (X ; Y) ainsi définie (1 cm pour une année en abscisses et 1 cm pour 200 visiteurs en ordonnées). 1,5 pt
b) Déterminer les coordonnées du point moyen G et représenter ce point. 0,75 pt
2. On désigne par S1 et S2 les sous séries de la série (X ; Y) suivantes :
S1
| Rang de l’année (xi) |
1 |
2 |
3 |
4 |
| Nombre de visiteurs (yi) |
540 |
560 |
700 |
800 |
S2
| Rang de l’année ( x i ) |
5 |
6 |
7 |
8 |
| Nombre de visiteurs ( y i) |
875 |
1120 |
1370 |
1500 |
a) Calculer les coordonnées des points moyens G1 et G2 des sous séries S1 et S2 respectivement. 1pt
b) Déterminer une équation cartésienne de la droite de Mayer (G1G2). 1,25 pt
c) Estimer alors à l'unité près par excès, le nombre de visiteurs de l'année de rang 10. 0,5 pt
Exercice 2: Épreuve de mathématique au baccalauréat A 2014
EXERCICE 2 (5 points)
Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher. 4 de ces boules sont rouges et le reste est noire.
1. On suppose qu’on tire simultanément 2 boules de cette urne. Calculer:
a) La probabilité p1 d'avoir une boule de chaque couleur. 1 pt
b) La probabilité p2 d'avoir exactement 2 boules rouges. 1 pt
c) La probabilité p3 d'avoir moins de 2 boules rouges. 1 pt
2. On suppose maintenant qu'on tire une boule de l'urne qu'on ne remet pas, puis on tire une seconde. Calculer :
a) La probabilité p4 d'avoir 1 boule de chaque couleur. 1 pt
b) La probabilité p5 d'avoir une boule rouge au 1er tirage. 1 pt
Problème Épreuve de mathématique au baccalauréat A 2014
PROBLÈME (10 points)
Soit f la fonction définie dans IR par \(f(0) = 2\) et \(f(x) = x\ln (x) + 2\) Si \(x \ne 0\). On désigne par (Cf), sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j )\)
a) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. 1pt
b) Etudier la continuité de f à droite de O 1 pt
2. a) Montrer que pour tout réel \(x \succ 0\), \(f'(x) = 1 + \ln (x)\) 1pt
b) En déduire que pour tout réel \(x \succ 0\), \(f'(x) \succ 0 \Leftrightarrow x \in \left] {\frac{1}{e}; + \infty } \right[\)
3. Dresser le tableau de variation-de f sur son ensemble de définition. 1pt
4. a) Calculer la limite de \(\frac{{f(x) - f(0)}}{x}\) en \({0^ + }\) 1 pt
b) Tracer la courbe (Cf) de f en tenant compte du fait que (Cf) admet une branche parabolique en \( + \infty \) de direction l'axe des ordonnées.
(unité de longueur sur les axes : 1,5 cm). 2 pts
5. Soit F la fonction définie dans \(\left] {0; + \infty } \right[\) par :
\(F(x) = - \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{x^2}\ln (x)}}{2} + 2x\)
a) Calculer \(F'(x)\) 1 pt
b) Déterminer la primitive de f sur \(\left] {0, + \infty } \right[\) qui s'annule en 1. 1 pt
