Exercice 1: / 5 points
On considère dans \(\mathbb{R}\) l‘inéquation suivante : (I) \(\ln (2x + 5)\) \( \ge - \ln x\) \( + \ln 7\)
1. a. Justifier clairement que, (I) est équivalente à
\((2{x^2} + 5x\) \( - 7 \ge 0\) et \(x \succ 0)\) 1 pt
b. En déduire la résolution de l’inéquation (l). 1,5 pt
2. a. Vérifier que :
\( - 2{x^3} - {x^2}\) \( + 17x - 14\) \( = (2 - x)\) \((2{x^2} + 5x - 7)\) 0.5pt
b. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation suivante :
\(2{x^3} + {x^2}\) \( - 17x + 14 = 0\) 1 pt
c. En déduire la résolution dans \(\mathbb{R}\) de l'équation ci-dessous :
\(2{e^{2x}} + {e^x}\) \( - 17{e^{ - x}}\) \( + 14 = 0\) 1 pt

Exercice 2: / 5 points
Dans une urne, il y a 9 boules distinctes et indiscernables au toucher :
5 portent le nombre 100 ;
3 le nombre 50 ;
1 le nombre 0.
On tire au hasard et simultanément 3 boules de cette urne et on fait la somme des nombres inscrits sur les trois boules.
1. Justifier que les différentes sommes qu'on peut obtenir sont : 100, 150, 200, 250 et 300. 1,25 pt
2. Calculer la probabilité de chacun des événements ci-dessous : 1,25 ptx3
A : « La somme des trois nombres est égale à 300 » ;
B : « La somme des trois nombres est plus petite que 300 »;
C : « la somme des trois nombres est égale à 150 ».

Problème / 10 points
Le graphe (Cf) ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction \(f\) dans un repère orthonormé \((O,\overrightarrow i ,\overrightarrow j )\),  \(f’\) est la dérivée de la fonction \(f\).
A l'aide de ce graphe :1. Donner l'ensemble de définition \(Df\) de \(f\). 0,5 pt
2. Déterminer \(f(0)\), \(f(2)\), \(f'(0)\) et \(f'(2)\). 1 pt
3. Résoudre graphiquement les inéquations suivantes: 1pt
a) \(f'(x) \prec 0\);
b) \(f'(x) \succ 0\).
4. Dresser le tableau de variations de \(f\). 1,5 pt
5. On suppose que :
\(f(x) = \) \(ax + b + \) \(\frac{c}{{x - 1}}\)
a) En vous servant de la question 2, justifier que l’on a le système suivant :
\(\left\{ \begin{array}{l}a - c = 0\\b - c = 3\\2a + b + c = 7\end{array} \right.\)
b) Résoudre dans \({\mathbb{R}^3}\) le système ( E). 1 pt
c} Avec les valeurs de \(a\) et \(b\) trouvées à la question 5b), vérifier que la droite (D) d'équation : \(y = ax + b\) passe par les points \(A\left( \begin{array}{l} - 4\\0\end{array} \right)\) et \(B\left( \begin{array}{l}1\\5\end{array} \right)\).  0,5 pt
On suppose dans la suite que :
\(f(x) = x + 4\) \( + \frac{1}{{(x - 1)}}\)
6. Ecrire une équation cartésienne de ta tangente à \((Cf)\) au point d'abscisse \({x_0} = 2\) 1 pt
7.a) Montrer que la fonction F définie sur \(\left] {1; + \infty } \right[\) par :
\(F(x) = \) \(\frac{1}{2}{x^2} + \) \(4x + \) \(\ln (x - 1) + k\)   est une primitive de \(f\).  1 pt
b) En déduire la primitive de f sur \(\left] {1; + \infty } \right[\) qui prend la valeur 3 en \({x_0} = 2\). 0,5 pt
c) Reproduire la courbe \((Cf)\) et représenter dans le même repère la courbe \((Ch)\) de la fonction h définie par : \(h(x) = \left| {f(x)} \right|\). 1 pt