I Définition de la continuité d’une fonction en un point

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et soit \(x_0\) un réel appartenant à \(I\).
On dit que \(f\) est continue en \(x_0\) si et seulement si \(f\) est définie en \(x_0\) et si la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(x_0\) est égale à \(f({x_0})\).
Une fonction \(f\) est continue en\(x_0\) si et seulement si :
• \(f({x_0})\) existe ;
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = \) \(f({x_0}) = l\) avec (\(l\) finie)

Remarque : Dans le cas contraire, on dit que la fonction \(f(x)\) n’est pas continue en \(x_0\)

II. Continuité sur un intervalle

Soit \(I \subset \) \( \mathbb{R}\) , on dit que \(f\) est continue sur \(I\) si et seulement si \(f\) est continue en tout point de \(I\).

Exemple
Toute fonction monômes est continue sur \( \mathbb{R}\) ;
• Les fonctions \(\sin x\) et \(\cos x\) sont continues sur \( \mathbb{R}\) ;
• La fonction \(\left| x \right|\) est continue sur \( \mathbb{R}\) ;
• La fonction \(\sqrt x \) est continue sur \(\left[ {0; + \infty } \right[\) ;
• La fonction partie entière \(E(x)\) n’est pas continue sur \( \mathbb{R}\).

Propriétés
Si \(f(x)\) et \(g(x)\) sont deux fonctions continues sur l’intervalle \(I\). Alors :
• \(f(x) + g(x)\), \(f(x) \times g(x)\), \(kf(x)\) avec \(k \in \) \( \mathbb{R}\) et \(\left| {f(x)} \right|\) sont continues sur \(I\) ;
• Si \(g(x) \ne 0\) sur \(I\) alors \(\frac{1}{{g(x)}}\) et \(\frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) sont continues sur \(I\) ;
• Si \(g(x) \ge 0\) sur \(I\) alors \(\sqrt {g(x)} \) est continue sur \(I\) ;
• Toute fonction polynôme est continue sur \( \mathbb{R}\) ;
• Toute fonction rationnelle est continue sur son ensemble de définition.

III. Prolongement par continuité

Soit \(f(x)\) une fonction définie sur \(I\) ne contenant pas \(x_0\) telle que \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = l\).
On appelle prolongement par continuité de \(f(x)\) en \(x_0\), la fonction \(g(x)\) définie par :
\(g(x) = \) \(\left\{ \begin{array}{l}f(x),{\rm{ si }}x \ne {x_0}\\l{\rm{, si }}x = {x_0}\end{array} \right.\)

N.B : Si \(f(x)\) n’est pas définie en \({x_0}\) mais admet une limite en ce point, alors on dit que \(f(x)\) est prolongeable par continuité au point \({x_0}\).

IV. Image d’un intervalle par une fonction continue

• Si \(f(x)\) est une fonction continue sur un intervalle \(I\) alors \(f(I)\) est un intervalle.
Dans la suite, Soit \(f(x)\) une fonction continue, On a :
• Si f est strictement croissante sur :
\(\left[ {a;b} \right]\) alors \(f\left( {\left[ {a;b} \right]} \right) = \) \(\left[ {f(a);f(b)} \right]\)
\(\left] {a;b} \right[\), alors \(f\left( {\left] {a;b} \right[} \right) = \) \(\left] {\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x);\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x)} \right[\)
\({\left] {a;b} \right]}\); alors \(f\left( {\left] {a;b} \right]} \right) = \) \(\left] {\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x);f(b)} \right[\)
• Si f est strictement décroissante sur :
Si \({\left[ {a;b} \right]}\), alors \(\left[ {f(b);f(a)} \right]\)
Si \({\left] {a;b} \right[}\), alors \(f\left( {\left] {a;b} \right[} \right) = \) \(\left[ {\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x);\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x)} \right]\)
Si \({\left] {a;b} \right]}\), alors \(f\left( {\left] {a;b} \right]} \right) = \) \(\left] {f(b);\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x)} \right]\)

V. Calcul approché des zéros d’une fonction continue

V.1 Théorème des valeurs intermédiaires

\(a\) et \(b\) sont des nombres réels tels que \(a \prec b\), \(f\) est une fonction continue sur \(\left[ {a;b} \right]\); (E) l’équation \(f(x) = 0\).
Si \(f(a) \times f(b)\) \( \prec 0\), alors l’équation (E) admet au moins une solution dans \(\left[ {a;b} \right]\).
Si \(f(a) \times f(b)\) \( \prec 0\), et \(f\) strictement monotone alors l’équation (E) admet une unique solution dans \(\left[ {a;b} \right]\).

V.2 Utilisation de la méthode par dichotomie

On utilise la méthode par dichotomie pour déterminer une valeur approchée de la solution d’une équation du type \(f(x) = 0\) sur \(\left[ {a;b} \right]\) avec une précision donnée.
• On détermine à l’aide du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires que l’équation \(f(x) = 0\) admet une solution unique sur l’intervalle \(\left[ {a;b} \right]\).
• On calcule \(f(c)\), c étant le milieu de l’intervalle \(\left[ {a;b} \right]\).
• Si \(f(a) \times f(c) \prec 0\), la solution de l’équation est dans \(\left] {a;c} \right[\), sinon elle est dans \(\left] {c;b} \right[\).
• On continue en testant le milieu du nouvel intervalle et ce jusqu’au l’obtention de la précision donnée.

VI. Composée de deux fonctions continues

Soient \(I\) et \(J\) deux intervalles de \( \mathbb{R}\). Soit \(f(x)\) une fonction continue sur \(I\), telle que \(f(I) \subset J\) et g une fonction continue sur \(J\). La fonction \(g \circ f(x)\) est continue sur \(I\).

VI. La bijection

Soit \(f\) une fonction numérique et \(I\) un intervalle de \( \mathbb{R}\). Si \(f\) est continue et est strictement monotone sur \(I\) alors elle réalise une bijection de \(I\) sur \(J = f(I)\)