I Définition de la continuité d’une fonction en un point

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et soit $x_0$ un réel appartenant à $I$.
On dit que $f$ est continue en $x_0$ si et seulement si $f$ est définie en $x_0$ et si la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $x_0$ est égale à $f({x_0})$.
Une fonction $f$ est continue en$x_0$ si et seulement si :
• $f({x_0})$ existe ;
• $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) =$ $f({x_0}) = l$ avec ($l$ finie)

Remarque : Dans le cas contraire, on dit que la fonction $f(x)$ n’est pas continue en $x_0$

II. Continuité sur un intervalle

Soit $I \subset$ $\mathbb{R}$ , on dit que $f$ est continue sur $I$ si et seulement si $f$ est continue en tout point de $I$.

Exemple
Toute fonction monômes est continue sur $\mathbb{R}$ ;
• Les fonctions $\sin x$ et $\cos x$ sont continues sur $\mathbb{R}$ ;
• La fonction $\left| x \right|$ est continue sur $\mathbb{R}$ ;
• La fonction $\sqrt x$ est continue sur $\left[ {0; + \infty } \right[$ ;
• La fonction partie entière $E(x)$ n’est pas continue sur $\mathbb{R}$.

Propriétés
Si $f(x)$ et $g(x)$ sont deux fonctions continues sur l’intervalle $I$. Alors :
• $f(x) + g(x)$, $f(x) \times g(x)$, $kf(x)$ avec $k \in$ $\mathbb{R}$ et $\left| {f(x)} \right|$ sont continues sur $I$ ;
• Si $g(x) \ne 0$ sur $I$ alors $\frac{1}{{g(x)}}$ et $\frac{{f(x)}}{{g(x)}}$ sont continues sur $I$ ;
• Si $g(x) \ge 0$ sur $I$ alors $\sqrt {g(x)}$ est continue sur $I$ ;
• Toute fonction polynôme est continue sur $\mathbb{R}$ ;
• Toute fonction rationnelle est continue sur son ensemble de définition.

III. Prolongement par continuité

Soit $f(x)$ une fonction définie sur $I$ ne contenant pas $x_0$ telle que $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = l$.
On appelle prolongement par continuité de $f(x)$ en $x_0$, la fonction $g(x)$ définie par :
$g(x) =$ $\left\{ \begin{array}{l}f(x),{\rm{ si }}x \ne {x_0}\\l{\rm{, si }}x = {x_0}\end{array} \right.$

N.B : Si $f(x)$ n’est pas définie en ${x_0}$ mais admet une limite en ce point, alors on dit que $f(x)$ est prolongeable par continuité au point ${x_0}$.

IV. Image d’un intervalle par une fonction continue

• Si $f(x)$ est une fonction continue sur un intervalle $I$ alors $f(I)$ est un intervalle.
Dans la suite, Soit $f(x)$ une fonction continue, On a :
• Si f est strictement croissante sur :
$\left[ {a;b} \right]$ alors $f\left( {\left[ {a;b} \right]} \right) =$ $\left[ {f(a);f(b)} \right]$
$\left] {a;b} \right[$, alors $f\left( {\left] {a;b} \right[} \right) =$ $\left] {\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x);\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x)} \right[$
${\left] {a;b} \right]}$; alors $f\left( {\left] {a;b} \right]} \right) =$ $\left] {\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x);f(b)} \right[$
• Si f est strictement décroissante sur :
Si ${\left[ {a;b} \right]}$, alors $\left[ {f(b);f(a)} \right]$
Si ${\left] {a;b} \right[}$, alors $f\left( {\left] {a;b} \right[} \right) =$ $\left[ {\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x);\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x)} \right]$
Si ${\left] {a;b} \right]}$, alors $f\left( {\left] {a;b} \right]} \right) =$ $\left] {f(b);\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x)} \right]$

V. Calcul approché des zéros d’une fonction continue

V.1 Théorème des valeurs intermédiaires

$a$ et $b$ sont des nombres réels tels que $a \prec b$, $f$ est une fonction continue sur $\left[ {a;b} \right]$; (E) l’équation $f(x) = 0$.
Si $f(a) \times f(b)$ $\prec 0$, alors l’équation (E) admet au moins une solution dans $\left[ {a;b} \right]$.
Si $f(a) \times f(b)$ $\prec 0$, et $f$ strictement monotone alors l’équation (E) admet une unique solution dans $\left[ {a;b} \right]$.

V.2 Utilisation de la méthode par dichotomie

On utilise la méthode par dichotomie pour déterminer une valeur approchée de la solution d’une équation du type $f(x) = 0$ sur $\left[ {a;b} \right]$ avec une précision donnée.
• On détermine à l’aide du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires que l’équation $f(x) = 0$ admet une solution unique sur l’intervalle $\left[ {a;b} \right]$.
• On calcule $f(c)$, c étant le milieu de l’intervalle $\left[ {a;b} \right]$.
• Si $f(a) \times f(c) \prec 0$, la solution de l’équation est dans $\left] {a;c} \right[$, sinon elle est dans $\left] {c;b} \right[$.
• On continue en testant le milieu du nouvel intervalle et ce jusqu’au l’obtention de la précision donnée.

VI. Composée de deux fonctions continues

Soient $I$ et $J$ deux intervalles de $\mathbb{R}$. Soit $f(x)$ une fonction continue sur $I$, telle que $f(I) \subset J$ et g une fonction continue sur $J$. La fonction $g \circ f(x)$ est continue sur $I$.

VI. La bijection

Soit $f$ une fonction numérique et $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$. Si $f$ est continue et est strictement monotone sur $I$ alors elle réalise une bijection de $I$ sur $J = f(I)$