Exercice I

1. Démontrer que la fonction \(f(x) = \) \(\tan \left( {\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}} \right)\) est continue en \( \mathbb{R}\)
2. Etudier la continuité de la fonction \(f(x)\) au point \({x_0}\) donné dans chacun des cas suivant:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}f(x) = \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}\\f(x) = 4\end{array} \right.\) avec \({x_0} = 2\)
a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f(x) = \frac{{\left| {x - 1} \right| + 2}}{{x + 3}}}\\{f(1) = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\) avec \({x_0} = 1\) avec \({x_0} = 1\)
3. Dans chacun des cas suivants, préciser l’ensemble de définition de la fonction \(f\) puis dire si elle est prolongeable par continuité au point \({x_0}\).
a) \(\left\{ \begin{array}{l}f(x) = \frac{{x - \sqrt x }}{x}\\{x_0} = 0\end{array} \right.\) ;
b) \(\left\{ \begin{array}{l}f(x) = \frac{{\tan x}}{x}\\{x_0} = 0\end{array} \right.\).

Exercice II

1. On considère la fonction \(g(x)\) définie sur \(\left[ { - 2;3} \right]\) par \(g(x) = 2x – 4\).
Démontrer qu’il existe \(\alpha \in \left[ { - 2;3} \right]\) tel que \(f(\alpha ) = - 4\)
2. soit la fonction \(f(x) = \) \(\frac{{\sqrt {3{x^2} + 1} - 2}}{{x - 1}}\)
2. 1 Calculer la limite en 1 de la fonction \(f\)
2.2 En déduire une fonction \(g\), prolongement par continuité de \(f\) en 1
3. dans chacun des cas suivants, démontrer que la fonction \(f\) est continue sur son ensemble de définition.
3.1 \(f(x) = \) \(\sqrt {1 - {x^2}} \) ;
3.2 \(f(x) = \) \(\frac{{\sin x + 1}}{{{{\sin }^2}x + 1}}\) ;

Exercice III

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\left[ {1; + \infty } \right[\) par \(f(x) = \) \(\sqrt {x - 1} - 2\)
1. Etudier la continuité de \(f\) sur l’intervalle \(\left[ {1; + \infty } \right[\).
2. Justifier que \(\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right[\), \(f(x) \ge - 2\).
3. Démontrer que tout élément \(\beta \) de \(\left[ { - 2; + \infty } \right[\) a un antécédent \(\alpha \) dans \(\left[ {1; + \infty } \right[\)
En déduire l’image par \(f\) de l’intervalle \(\left[ {1; + \infty } \right[\).

Exercice IV

1. Dans chacun des cas suivants, déterminer \(\alpha \) pour que la fonction \(f\) soit continue sur \( \mathbb{R}\)
a) \(f(x) = \) \(\left\{ \begin{array}{l}{f_1}(x) = \frac{{{x^2} - x}}{x}\\{f_2}(0) = \alpha \end{array} \right.\), avec \({f_1}(x)\) si \(x \in \) \( \mathbb{R^*}\) ;
b) \(f(x) = \) \(\left\{ \begin{array}{l}{f_1}(x) = \frac{{\sqrt {{x^2} - x} + 1 - x}}{x}\\{f_2}(1) = \alpha \end{array} \right.\), avec \({f_1}(x)\) si \(x \in \) \( \mathbb{R}\) \(\backslash \left\{ 1 \right\}\)
2. Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables par continuité en 0 ?
a) \(f(x) = \) \({x^2}\sin \frac{1}{x}\) ;
b) \(g(x) = \) \(\frac{{{{\sin }^2}x}}{x}\).

Exercice V

A.1 Démontrer que l’équation \({x^3} - 6x\) \( - 6 = 0\) a une unique solution réelle.
A.2 Déterminer une valeur approchée à \({10^{ - 2}}\) près de cette solution.
B.1 Démontrer que l’équation \(\frac{1}{4}{x^3} - {x^2}\) \( + 1 = 0\) a trois solutions réelles
B.2 Déterminer une valeur approchée à \({10^{ - 2}}\) près de ces solutions.

Exercice VI

On considère la fonction \(f\) définie par : \(f(x) = \) \(\cos x - x\)
1. Montrer que \(f(x) = 0\) admet une solution \({x_0} \in \left] {0;\frac{\pi }{3}} \right[\).
On veut déterminer une valeur approchée de \({x_0}\) à 0,1 près par la méthode de dichotomie.
2. Calculer \(f(\frac{\pi }{6})\), l’image du milieu de l’intervalle \(\left] {0;\frac{\pi }{3}} \right[\).
3. Calculer \(f(0) \times f(\frac{\pi }{6})\) d’une part et \(f(\frac{\pi }{6}) \times f(\frac{\pi }{3})\) d’autre part et donner des deux intervalles celui qui contient \({x_0}\).
4. Continuer le procédé pour déterminer \({x_0}\) à 0,1 près