Partie A : Évaluation des ressources 10 Points
Activités numériques 5 points
Exercice 1
1. Calculons A et donnons le résultat sous forme de fraction irréductible
\(A = \frac{4}{5} - \frac{4}{5} \times 5\) \( + 7 = \frac{4}{5} - \frac{{20}}{5}\) \( + 7 = \frac{{ - 16}}{{\;\;5}} + 7 = \) \(\frac{{ - 16 + 35}}{5} = \frac{{19}}{5}\)
Donc \(A = \frac{{19}}{5}\) 0,75 pt
2. Écrivons B sous la forme \(a - b\sqrt 5 \) où \(a\) et \(b\) sont des entiers naturels
\(B = 5{\left( {3 - 2\sqrt 5 } \right)^2}\) \( = 5\left( {9 - 12\sqrt 5 + 20} \right)\) \( = 145 - 60\sqrt 5 \)
Donc \(B = 145 - 60\sqrt 5 \) où \(a=145\) et \(b=60\) 0,75 pt
3. Donnons un encadrement de \(C = 3 - 2\sqrt 5 \) d’ordre 2
\(2,23 < \sqrt 5 < 2,24\;\) \( \Rightarrow - 2 \times 2,24 < \) \( - 2 \times \sqrt 5 < - 2 \times 2,23\)
\( - 4,48 < - 2\sqrt 5 \) \( < - 4,46\)
\( - 4,48 + 3 < \) \( - 2\sqrt 5 + 3 < \) \( - 4,46 + 3\)
\( - 1,48 < 3 - 2\sqrt 5 \) \( < - 1,46\)
Donc \( - 1,48 < C < - 1,46\) 0,5 pt
Exercice 2
On considère l’expression \(V = \left( {2 - x} \right)\) \(\left( { - 3x + 4} \right)\)
1. Choisissons la forme développée de V 0,5 pt
c) \(3{x^2} - 10x + 8\)
2. Déterminons les solutions dans \(R\) de l’équation \(\left( {2 - x} \right)\) \(\left( { - 3x + 4} \right) = 0\)
\(\left( {2 - x} \right)\) \(\left( { - 3x + 4} \right) = 0 \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}
2 - x = 0\\ - 3x + 4 = 0 \end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\ x = \frac{4}{3} \end{array} \right.\)
Donc \(S = \left\{ {2\;;\;\frac{4}{3}} \right\}\) 0,75 pt
Déterminons le couple \(\left( {x\;;\;y} \right)\) solution du système d’équations \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x - 2y = 5}\\ {2x + y = \;8} \end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x - 2y = 5}\\ {2x + y = \;8} \end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x - 2\left( {8 - 2x} \right) = 5}\\ {y = \;8 - 2x} \end{array}{\rm{\;\;}}} \right.\) \( \Leftrightarrow \) \({\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {7x = 21}\\ {y = \;8 - 2x} \end{array}} \right.}\) \( \Leftrightarrow \) \({\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 3}\\ {\;y = 8 - 6 = 2} \end{array}} \right.}\)
Ainsi \(\left( {x\;;y} \right) = \left( {3\;;2} \right)\)
Exercice 3
1. L’amplitude des classes de cette série statistique est 100. 0,25 pt
Dressons le tableau des effectifs de cette série. 1 pt
Ce tableau est complété à partir de la relation :
Effectif de classe \( = \frac{{f\% \times eff\;total}}{{100}}\)
Activités géométriques 5 points
Exercice 1
1. Plaçons les points E,F et G dans le repère (O,I,J) 1 pt
2. Calculons les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow {EF} \) et \(\overrightarrow {EG} \) puis déduisons que EFG est un triangle rectangle en E
\(\overrightarrow {EF} \;\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2 + 2}\\ {3 + 1} \end{array}} \right) \Rightarrow \) \(\overrightarrow {EF} \;\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 4 \end{array}} \right)\) et \(\overrightarrow {EG} \;\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + 2}\\ { - 4 + 1} \end{array}} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {EG} \;\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ { - 3} \end{array}} \right)\) On a \(4\left( 3 \right)\; + \;\left( 4 \right)\) \(\left( { - 3} \right) = 12 -\) \(12\; = \;0\) Ainsi,\(\overrightarrow {EF} \) et \(\overrightarrow {EG} \) sont orthogonaux
Donc le triangle EFG est rectangle en E. 0,75 pt
3.a) Construisons la droite (D) (Voir figure ci-dessus)
(D) est la droite passant par J et parallèle à (EG) 0,25 pt
3.b) Justifions que \(EG = 3\sqrt 2 \); puis calculons \(JN\)
\(\overrightarrow {EG} \;\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ { - 3}\end{array}} \right)\) \( \Rightarrow EG = \) \(\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \) \(\sqrt {18} = \) \(\sqrt {{3^2} \times 2} = 3\sqrt 2 \) Comme (D) passe par le milieu J de [EF] et est parallèle à (EG) alors (D) passe par le milieu N de [FG] et d’après la propriété de la droite des milieux, \(JN = \frac{{EG}}{2}\). Donc \(JN = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\) 0,75 pt
4. Déterminons une équation cartésienne de la droite \((EG)\)
Soit \(M\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right)\) un point du plan.
Alors \(M \in \left( {EG} \right) \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {EM} \;\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 2}\\ {y + 1} \end{array}} \right)\) et \(\overrightarrow {EG} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ { - 3} \end{array}} \right)\) sont colinéaires \( - 3\left( {x + 2} \right)\) \( - 3\left( {y + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {EG} \right): - 3x - \) \(3y - 9 = 0\) ou \(\left( {EG} \right): - x - \) \(y - 3 = 0\) ou encore \(\left( {EG} \right): + x + \) \(y + 3 = 0\) 0,75 pt
Exercice 2
1. Montrons que le volume de cette pyramide est : \(V = 960\;c{m^3}\)
\(V = \) \(\frac{{c\^o t\'e \times c\^o t\'e \times H}}{3}\) \( = \) \(\frac{{12 \times 12 \times 20}}{3}\) \( = 960\;c{m^3}\) 0,75 pt
2. Déduisons-en le volume de la pyramide réduite
On a \(k = \frac{3}{4}\) et \({k^3} = \frac{{V'}}{V} \Rightarrow \) \(V' = {k^3} \times V = \) \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^3} \times 960\) \( = \frac{{27}}{{64}} \times 960\) \( = 405\;c{m^3}\)
Donc la pyramide réduite a pour volume \(V' = 405\;c{m^3}\). 0,75 pt
Partie B : Évaluation des compétences
Tâche 1
Détermination du nombre de pots de peinture à utiliser pour ce chantier.
La surface latérale totale du pavé à peindre par le technicien est définie par :
\({A_T} = 2 \times 2,80 \times \) \(\left( {6,40 + 5,20} \right) - \) \(\left( {3,2 \times 3 + 0,80 \times 2} \right)\)
\({A_T} = 53,76\;{m^2}\); En considérant que les murs sont peints intérieurement et extérieurement on doit multiplier l’aire latérale par deux ; soit A = 2 AT = 107,52m2
La quantité en litres de peintures est alors \(V = \frac{A}{4} = \) \(\frac{{107,52}}{4} = \) \(26,88\;litres\)
Le nombre de pots de peintures est donc \(N = \frac{{26,88}}{5}\) \( = 5,376\) soit 6 pots de peintures.
Tâche 2 : Détermination du nombre de carreaux
Détermination du volume d’un flacon
On a : \(5,20\;m = 520\;cm\) et \(6,40\;m = 640\;cm\)
on a : \(64 = {2^4} \times 5 \times 7{\rm{\;}}\) et \(52 = {2^3} \times 5 \times 13\) donc
\(PGCD\) \(\left( {520\;;\;640} \right) = \) \({2^3} \times 5 = 40\) cm qui représente le côté d’un carreau ;
L’aire d’un carreau : \({A_c} = {40^2} = \) \(1600\;c{m^2}\)
L’aire du sol : \({A_S} = 640 \times 520\) \( = 332\;800\;c{m^2}\) le nombre de carreaux est donc :
\({N_C} = \frac{{{A_S}}}{{{A_c}}}\) \( = \frac{{332\;800\;}}{{1600}} = 208\) carreaux
Tâche 3
Détermination du nombre de paquets achetés pour que la proposition du grossiste B soit plus avantageuse
Soit \(x\) ce nombre de paquets. Le propriétaire doit dépenser au Grossiste A la somme de \(A\left( x \right) = 4800x\) et au Grossiste B la somme de \(B\left( x \right) = 4200x\) \( + 3600\)
Il faut que \(B\left( x \right) < \;A\left( x \right)\) \( \Rightarrow 4200x + 3600\) \( < 4800x\)
D’où \(x > 6\). Ainsi c’est à partir de 7 paquets.
