Partie A ; Évaluation ces Ressources (5 points)
Activités numériques / 1,5 pt
Exercice 1 :(1,5 points)
On considère le nombre \(A = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 - \sqrt 3 }}\)
1. Calculons \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^2}\). 0,5pt
\({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^2} = {2^2} + \) \(2 \times 2 \times \sqrt 3 + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = \) \(7 + 4\sqrt 3 \)
2. Montrons que \(A = 7 + 4\sqrt 3 \), 0,5pt
\(A = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 - \sqrt 3 }} = \) \(\frac{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}\) \( = \frac{{7 + 4\sqrt 3 }}{{4 - 3}} = 7 + 4\sqrt 3 \)
3. Sachant que \(1,732 \prec \sqrt 3 \prec 1,733\), déterminons un encadrement de A par deux nombres décimaux d'ordre 2. ( 0,5pt)
\(1,732 \prec \sqrt 3 \prec 1,733\)
\(7 + 4 \times 1,732 \prec 7 + 4 \times \sqrt 3 \) \( \prec 7 + 4 \times 1,733\)
\(13,928 \prec 7 + 4 \times \sqrt 3 \) \( \prec 13,932\)
\(13,92 \prec 7 + 4 \times \sqrt 3 \prec 13,94\)
Exercice 2.: (1.5 point)
1. On considère l'expression \(B = {\left( {x - 2} \right)^2} + \) \(\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)\)
1. Écrivons \(B\) sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré. 0,75pt
\(B = {\left( {x - 2} \right)^2} + {\rm{ }}\left( {x - 2} \right)\) \(\left( {x + 4} \right) = \left( {x - 2} \right)\) \(\left[ {\left( {x - 2} \right) + \left( {x + 4} \right)} \right]\) \( = \left( {x - 2} \right)\left( {2x + 2} \right)\)
2. On considère la fraction rationnelle \(C = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)
Donnons la condition existence d’une valeur numérique de C puis simplifier C. 0,75pt
C dans existe \(\mathbb{R}\) si et seulement si \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\x + 3 \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne - 3\end{array} \right.\)
Exercice 3 : (2 points)
1. le caractère étudie et sa nature sont 0,5pt
• Caractère étudie : la note sur 20 en mathématiques ;
• Nature : Caractère quantitatif.
2. Justifions que l'effectif de la classe [12 ; 16[ est 7. 0,25pt
\(50 - (13+15+10+5)\) \( = 50 - 43 = 7\)
3. La classe modale de cette série statistique est 0,25 pt
La classe modale est [4 ; 8[
4. Calculons la moyenne des notes sur 20 en mathématiques de cette classe. 1 pt
\(M = \frac{{13 \times 2 + ... + 5 \times 18}}{{50}}\) \( = \frac{{404}}{{50}} = 8,08\)
ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES : (5 points)
Exercice 1 :(1,5 point)
Le plan est muni d’un repère orthonormé \(\left( {O,I,J} \right)\). On considère les points A, B et C de l coordonnées respectives (2; 2) ; (-3 ; 1) et (4 ; - 2).
Répondre par Vrai ou Faux à chacune des questions suivantes :
1. Vrai 0,5pt
2. Vrai 0,5 pt
3. Vrai 0,5pt
Exercice 2 : (2 points)
1. Calculons \(\cos \widehat {BAC}\) et en déduire l’arrondi à 1° près de la mesure de l'angle \(\widehat {BAC}\)
\(\cos \widehat {BAC} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{4}{5} = 0,8\), donc \(mes\widehat {BAC} = {36,86^o} \approx {37^o}\).
2. Justifions que les angles \(\widehat {BAC}\) et \(\widehat {BMC}\) ont la même mesure.
Les angles \(\widehat {BAC}\) et \(\widehat {BMC}\) sont inscrits dans le cercle \((C)\) et interceptent le même arc de cercle.
3. Calculer la distance \(EF\).
Les droites \((BC)\) et \((EF)\) sont parallèles. De la propriété directe de Thalès, on a : \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{EF}}{{BC}}\) \( \Rightarrow EF = BC\frac{{AE}}{{AB}}\)
AN : \(EF = 2,4\) cm
Exercice 3 : (1,5 point)
1. Calculons le volume V de la pyramide SABCD. 0,75pt
\(V = \frac{{B \times h}}{3} = \frac{{4 \times 3}}{5} = 32\) cm3
2. En déduisons le volume v de la pyramide réduite SEFCH. 0,75pt
\(v = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} \times 32 = 4\) cm3
Partie B Évaluation des compétences (10 points)
1. Calculons le montant total du budget des travaux de réfection.
Faisons une mise en équation
Désignons par \(x\) ce montant total.
Ainsi \(\frac{2}{5}x + \frac{1}{4}x + 1255000 = x\)
Calculons le montant total du budget des travaux de réfection.
\(\frac{2}{5}x + \frac{1}{4}x + 1255000 = x\) \( \Rightarrow x - \frac{2}{5}x - \frac{1}{4}x = \) \(1255000\) d’où \(x(1 - \frac{2}{5} - \frac{1}{4}) = 1255000\) \( \Rightarrow x = \frac{{1255000}}{{1 - \frac{2}{5} - \frac{1}{4}}}\) soit \(x = 3500000\)
2. Calculons le nombre minimal de carreaux à acheter pour le renouvellement du carrelage.
Calculons le côté d'un carreau.
On a 4,80 m = 480 cm, 300 m _ 300 cm.
Puisque ce côté est le plus grand possible, alors il est égal à pgcd(480 ; 300).
On a : pgcd(480; 300) = 60. Donc ce côté est égal : 60 cm..
Calculons l'aire d'un carreau.
L'aire d'un carreau est égal à : 60x60 = 3 600. Soit 3 600 cm2
Calculons Faire de la cuisine
L'aire en cm2 de la cuisine est égale à : 480x300 = 144 000. Soit 144 000 cm2.
Calculons le nombre minimal de carreaux à acheter pour le renouvellement du carrelage.
Le nombre minimum de carreaux à acheter est égal à : 144 000 + 3 600 = 40.
Soit un minimum de 40 carreaux.
3. Calculons le nombre de seaux de peinture de chaque type qui ont été achetés.
Effectuons le choix des inconnues et la mise en équations.
Désignons par \(x\) et \(y\), les nombres respectifs de seaux de peinture à eau et à huile.
Pour le nombre total de seaux achetés, on a : \(x + y = 10\).
Pour le total des dépenses, on a : \(40000x + 60000y = 440000.\)
\(x\) et \(y\) vérifient le système : \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 10\\40000x + 60000y = 440000\end{array} \right.\)
Calculons le nombre de seaux de peinture de chaque type qui ont été achetés.
De \(x + y = 10\), on a \(y = 10 - x\). En substituant \(y\) par \(10 – x\) dans \(40 000x + 60 000y\) \( = 440 000\), on obtient \(40 000x + 60 000\) \((10 - x) = 440 000\). D'où \(- 20 000x = -160 000\). Ainsi \(x = 8\) et \(y = 2\). Donc 8 seaux de peinture à eau et 2 seaux de peinture à huile ont été achetés.
N.B : Le point réservé à la présentation porte sur l'ensemble de toute la copie du candidat
