Soient \(x \in {\mathbb{R}^ + }\), \(y \in {\mathbb{R}^ + }\), \(a \in \mathbb{R}\), \(c \in \mathbb{R}\),\(k \in \mathbb{R}\) et \(n \in \mathbb{N}\).

Par définition, on dit que y est le Logarithme de \(x\)dans la base\(a\) et on note \(y = {\log _a}x\) si et seulement si \(x = {a^y}\) avec et \(a \ne 1\)

1. \({\log _a}1 = 0\) et \({\log _a}a = 1\)

2. \({\log _a}0 = - \infty \) si et \({\log _a}0 = + \infty \) si \(a \prec 1\)

3. \({\log _a}\left( {xy} \right) = \) \({\log _a}\left( x \right) + {\log _a}\left( y \right)\)

4. \({\log _a}\frac{x}{y} = \) \({\log _a}\left( x \right) - {\log _a}\left( y \right)\)

5. \({\log _a}{x^n} = \) \(n{\log _a}\left( x \right)\)

6. \({\log _a}\sqrt[n]{x} = \) \(\frac{1}{n}{\log _a}\left( x \right)\)

7. \({\log _a}x = \) \(\frac{{{{\log }_c}\left( x \right)}}{{{{\log }_c}a}}\)

8. \({\log _a}x = \) \(\frac{{{{\log }_c}\left( x \right)}}{{{{\log }_c}a}} = \) \({\log _c}\left( x \right).{\log _a}c\) avec \(c \succ 1\) et \(c \ne 1\)

9. \({\log _a}c = \frac{1}{{{{\log }_c}a}}\)

10. \(x = {a^{{{\log }_a}x}}\)

Lorsque la base \(a = 10\), on parle du logarithme décimale : \({\log _{10}}x = \log x\)
Lorsque la base \(a = e\), avec \(e = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{k}} \right)^k}\) \( = 2,718...\), on parle du logarithme népérien : \({\log _e}x = \) \(Logx = \ln x\).

Soit \(y = {\log _a}x\).