Correction exercice I

1. Écrivons l'équation de la tangente et de la normale à la courbe \(y = {x^3}\) au point \(M\left( {1,1} \right)\).
Équation de la tangente en \(M\left( {1,1} \right)\) : \(y = {x^3}\) \( \Rightarrow y' = 3{x^2}\)
\(y - f(1) = \) \(f'(1)(x - 1)\)
\(y - 1 = \) \(3(x - 1) \Rightarrow \) \(y = 3x - 2\)
Équation de la normale en \(M\left( {1,1} \right)\) :
\(y - 1 = - \) \(\frac{1}{{f'(1)}}(x - 1)\) \( \Rightarrow y = - \frac{x}{3} + \frac{4}{3}\) (1)
2. Soit l’ellipse \(\left\{ \begin{array}{l}x = a\cos t\\y = a\sin t\end{array} \right.\)
Il vient de l'équation (1) que : \(x' = \frac{{dx}}{{dt}} = \) \( - a\sin t\) et \(y' = \frac{{dy}}{{dt}}\) \( = b\cos t\)
\(\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dt}}\frac{{dt}}{{dx}}\) \( = \frac{{\frac{{dy}}{{dt}}}}{{\frac{{dx}}{{dt}}}} = \) \(\frac{{b\cos t}}{{ - a\sin t}} = \) \( - \frac{b}{a}ctgt\)
\({\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)_{t = \frac{\pi }{4}}} = \) \( - \frac{b}{a}\)
Calculons les coordonnées du point de tangence M
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = a\cos \frac{\pi }{4}\\{y_1} = a\sin \frac{\pi }{4}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\\{y_1} = \frac{b}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\)
L'équation de la tangente est \(y - \frac{b}{{\sqrt 2 }} = \) \( - \frac{b}{a}\left( {x - \frac{a}{{\sqrt 2 }}} \right)\).
L'équation de la normale est \(y - \frac{b}{{\sqrt 2 }} = \) \(\frac{a}{b}\left( {x - \frac{a}{{\sqrt 2 }}} \right)\)
Les longueurs de la sous-tangente et de la sous-normale sont respectivement :
\({S_T} = \) \(\left| {\frac{{\frac{b}{{\sqrt 2 }}}}{{ - \frac{b}{a}}}} \right| = \) \(a\sqrt 2 \)
\({S_N} = \) \(\left| {\frac{b}{{\sqrt 2 }}\left( { - \frac{b}{a}} \right)} \right| = \) \(\frac{{{b^2}}}{{a\sqrt 2 }}\)
Les longueurs de la tangente et de la normale sont
\(T = \) \(\left| {\frac{{\frac{b}{{\sqrt 2 }}}}{{ - \frac{b}{a}}}\sqrt {{{\left( { - \frac{b}{a}} \right)}^2} + 1} } \right|\) \( = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
\(N = \) \(\left| {\frac{b}{{\sqrt 2 }}\sqrt {{{\left( { - \frac{b}{a}} \right)}^2} + 1} } \right|\) \( = \frac{b}{{a\sqrt 2 }}\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

Correction exercice II

1. Trouvons l'équation de la tangente et de la normale, la longueur de la sous-tangente et de la sous-normale au cercle \({x^2} + {y^2}\) \( = {r^2}\) au point \(M({x_1},{y_1})\).
Comme précédemment, nous avons \(\left\{ \begin{array}{l}x(t) = r\cos t\\y(t) = r\sin t\end{array} \right.\)
On trouve \({x^2} + {y^2} = \) \({r^2} \Rightarrow 2x + \) \(2y\frac{{dy}}{{dx}} = 0\)
\(\frac{{dy}}{{dx}} = \) \( - \frac{x}{y}\)
Ainsi \(\left\{ \begin{array}{l}x_1^2 + y_1^2 = {r^2}\\{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)_{x = {x_1}}} = - \frac{{{x_1}}}{{{y_1}}}\end{array} \right.\)
Écrivons dons l’équation de la tangente
\(y - {y_1} = \) \({\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)_{x = {x_1}}}\) \(\left( {x - {x_1}} \right)\)
\(y - {y_1} = \) \( - \frac{{{x_1}}}{{{y_1}}}\left( {x - {x_1}} \right)\)
\(y{y_1} + x{x_1} = \) \(x_1^2 + y_1^2 = {r^2}\)

L’équation de la tangente devient
\(y{y_1} + x{x_1}\) \( = {r^2}\)
Déterminons l’équation de la normale, par définition
\(y - {y_1} = \) \( - \frac{1}{{{{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)}_{x = {x_1}}}}}\) \(\left( {x - {x_1}} \right)\)
Ainsi \(y{x_1} + x{y_1} = 0\)

Pour la sous-tangente, on part de la définition
\({S_T} = \left| {\frac{{f({x_1})}}{{f'({x_1})}}} \right|\) \( = \left| {\frac{{{y_1}}}{{\frac{{{x_1}}}{{{y_1}}}}}} \right| = \) \(\left| {\frac{{y_1^2}}{{{x_1}}}} \right|\)

Pour la sous-normale
\({S_T} = \) \(\left| {f'({x_1}).f({x_1})} \right| = \) \(\left| {\frac{{{x_1}}}{{{y_1}}}.{y_1}} \right| = \left| {{x_1}} \right|\)
2. Trouvons l'équation de la tangente au point \(M({x_1},{y_1})\) :
a) à l'ellipse
Comme précédemment, nous aurions : \(\frac{{x{x_1}}}{{{a^2}}} + \frac{{y{y_1}}}{{{b^2}}} = 1\)
b) à l'hyperbole
Comme précédemment, nous aurions : \(\frac{{x{x_1}}}{{{a^2}}} - \frac{{y{y_1}}}{{{b^2}}} = 1\)

Correction exercice III

Exercice à chercher
Sous-tangente : \({S_T} = a\)
Sous-normale : \({S_N} = a\)
Longueur de l a tangente : \(T = a\sqrt 2 \)
Longueur de la normale : \(N = a\sqrt 2 \)