I. Définition
On dit que la fonction \(F\) est une primitive de la fonction \({f(x)}\) sur le segment [a, b] si en tout point de ce segment on a l'égalité \(F'(x) = f(x)\)
Exemple : \({\left( {\frac{{{x^4}}}{4}} \right)}' = {x^3}\) donc \({\frac{{{x^4}}}{4} + cte}\) est la primitive de \({x^3}\) avec cte une constance car la dérivée d’une constance est nulle.
Théorème
Si \({F_1}(x)\) et \({F_2}(x)\) sont deux primitives de la fonction \(f(x)\) sur le segment [a,b], leur différence est une constante. C’est-a-dire
\({F_2}(x) - \) \({F_1}(x) = cte\)
On appelle intégrale indéfinie de la fonction \({f(x)}\) et on note \(\int {f(x)dx} \) toute expression de la forme \(F(x) + cte\) où \(F(x)\) est une primitive de \({f(x)}\).
Ainsi, l'intégrale indéfinie représente une famille de fonctions \(y = F(x) + cte\).
II. Tableau des primitives usuelles
| Fonctions | Primitives | |
| 1 | \({x^m}\) | \(\frac{{{x^{m+1}}}}{{m + 1}} + cte\) avec \({m + 1 \ne 0}\) |
| 2 | \(\frac{1}{x}\) | \(Log\left| x \right| + cte\) |
| 3 | \(\frac{{{1}}}{{{x^2} + {a^2}}}\) | \(\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}\) \( + cte\) |
| 4 | \(\frac{1}{{{a^2} - {x^2}}}\) | \(\frac{1}{a}argth\frac{x}{a}\) \( + cte\) avec \(\left| x \right| \prec a\) ou \(\frac{1}{{2a}}Log\left| {\frac{{a + x}}{{a - x}}} \right|\) \( + cte\), \(\forall x\) |
| 5 | \(\frac{1}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}\) | \(\arcsin \frac{x}{{\left| a \right|}} + cte\) ou \( - \arccos \frac{x}{{\left| a \right|}} + cte\) |
| 6 | \(\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + h} }}\) | \(Log\left| {x + \sqrt {{x^2} + h} } \right|\) \( + cte\) ou \(argth\frac{x}{{\left| a \right|}} + cte\) si \(h = - {a^2}\) ou \(argsh\frac{x}{{\left| a \right|}} + cte\) si \(h = + {a^2}\) |
| 7 | \({a^x}\), \(a \succ 0\) |
\(\frac{{{a^x}}}{{Loga}} + cte\) |
| 8 | \(\cos x\) | \(\sin x + cte\) |
| 9 | \(\sin x\) | \( - \cos x + cte\) |
| 10 | \( - \cos x + cte\) | \(\tan x + cte\) |
| 11 | \(\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) | \( - cotan x + cte\) |
| 12 | \(\tan x\) | \( - Log\left| {\cos x} \right|\) \( + cte\) |
| 13 | \(cotan x\) | \(Log\left| {\sin x} \right| + cte\) |
| 14 | \(\frac{1}{{\sqrt {{x^2} \pm {a^2}} }}\) | \(Log\left| {x + \sqrt {{x^2} \pm {a^2}} } \right|\) \( + cte\) |
| 15 | \(Logx\) | \(xLogx - x\) + cte |
| 16 | \(\sec x = \frac{1}{{\cos x}}\) | \(Log\left| {\sec x + \tan x} \right|\) + cte |
