Toute fraction rationnelle régulière peut être mise, et cela d'une seule manière, sous la forme d'une somme d'éléments simples.
Soit \(\frac{{F(x)}}{{f(x)}}\) une fraction rationnelle régulière.
Nous supposerons que les coefficients des polynômes qui la composent sont réels et qu'en outre la fraction est irréductible (c'est-à-dire que le numérateur et le dénominateur n'ont pas de racines communes).
Théorème 1. Soit \(x = a\) une racine multiple d'ordre \(k\) du dénominateur, c'est-à-dire \(f(x) = \) \({\left( {x - a} \right)^k}\) \({f_1}(x)\) où \({f_1}(a) \ne 0\); la fraction régulière \(\frac{{F(x)}}{{f(x)}}\) peut alors se décomposer en une somme de deux fractions régulières de la manière suivante :
\(\frac{{F(x)}}{{f(x)}} = \) \(\frac{A}{{{{(x - a)}^k}}} + \) \(\frac{{{F_1}(x)}}{{{{(x - a)}^{k - 1}}{f_1}(x)}}\)
où le coefficient \(A\) est différent de zéro et \({{F_1}(x)}\) est un polynôme de degré inférieur à celui du dénominateur \({{{(x - a)}^{k - 1}}{f_1}(x)}\).
En appliquer un raisonnement analogue à la fraction rationnelle régulière \(\frac{{{F_1}(x)}}{{{{(x - a)}^{k - 1}}{f_1}(x)}}\), on obtiendra
\(\frac{{F(x)}}{{f(x)}} = \) \(\frac{A}{{{{(x - a)}^k}}} + \) \(\frac{{{A_1}}}{{{{(x - a)}^{k - 1}}}} + \) \(\frac{{{A_2}}}{{{{(x - a)}^{k - 2}}}}\) \( + ... + \) \(\frac{{{A_{k - 1}}}}{{x - a}}\frac{{{F_k}(x)}}{{{f_1}(x)}}\)
On peut déterminer les coefficients \(A\), \({A_1}\) , . . ., \({A_{k - 1}}\) en tenant compte des considérations suivantes. L'égalité précédente est une identité, par conséquent, si nous réduisons ces fractions au même dénominateur, nous aurons aux numérateurs à droite et à gauche des polynômes identiquement égaux. En égalant les coefficients des mêmes puissances de x, nous trouvons un système d'équations pour déterminer les coefficients inconnus \(A\), \({A_1}\) , . . ., \({A_{k - 1}}\).
Cette méthode de recherche des coefficients est appelée méthode des coefficients indéterminés.
Théorème 2. Si \(f(x) = \) \({\left( {{x^2} + px + q} \right)^\mu }\) où le polynôme \({\varphi _1}(x)\) n'est pas divisible par \({{x^2} + px + q}\), la fraction rationnelle régulière \(\frac{{F(x)}}{{f(x)}}\) peut être représentée par la somme de deux fractions régulières de la manière suivante :
\(\frac{{F(x)}}{{f(x)}} = \) \(\frac{{Mx + N}}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^\mu }}}\) \( + \) \(\frac{{{\phi _1}(x)}}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^\mu }{\varphi _1}(x)}}\)
où \({{\phi _1}(x)}\) est un polynôme de degré inférieur à celui du polynôme \({{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^\mu }}\) \({{\varphi _1}(x)}\)
