Soit à intégrer une fonction de la forme \(\int {f(x,} \) \(\sqrt {a{x^2} + bx + c} )dx\), il convient de ramener cette expression sous la forme \(\int {f(\sin t} ,\) \(\cos t)dt\)
\(a{x^2} + bx + c\) \( = a{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2}\) \( + \left( {c - \frac{{{b^2}}}{{4a}}} \right)\)
Plusieurs cas sont à prendre en considération
Si \(a = 0\), avec \(b \ne 0\) l'intégrale se ramène à la forme \(\int {f(x,} \) \(\sqrt {bx + c} )dx\)
Si \({a \succ 0}\) et \(c - \frac{{{b^2}}}{{4a}} \succ 0\)
Posons \(x + \frac{b}{{2a}} = t\) \( \Rightarrow dx = dt\), \
(a = {m^2}\) et \({c - \frac{{{b^2}}}{{4a}} = {n^2}}\) alors \(\sqrt {a{x^2} + bx + c} \) \( = \sqrt {{m^2}{t^2} + {n^2}} \)
Si \({a \succ 0}\) et \(c - \frac{{{b^2}}}{{4a}} \succ 0\)
\(a = {m^2}\), \(c - \frac{{{b^2}}}{{4a}} \prec 0\) alors \(\sqrt {a{x^2} + bx + c} \) \( = \sqrt {{m^2}{t^2} - {n^2}} \)
Si \(a \prec 0\), \(c - \frac{{{b^2}}}{{4a}} \succ 0\) alors \(\sqrt {a{x^2} + bx + c} \) \( = \sqrt {{n^2} - {m^2}{t^2}} \)
Si \(a \prec 0\), \(c - \frac{{{b^2}}}{{4a}} \prec 0\) alors \(\sqrt {a{x^2} + bx + c} \) est une quantité complexe quel que soit \(x\)

I Si \(\int {f(t} ,\) \(\sqrt {{m^2}{t^2} + {n^2}} )dt\)

Posons \(t = - \frac{n}{m}\tan z\) et l’intégrale se ramène donc sous la forme \(\int {f(\sin t} ,\) \(\cos t)dt\)

II. Si \(\int {f(t} ,\) \(\sqrt {{m^2}{t^2} - {n^2}} )dt\)

Posons \(t = - \frac{n}{m}\frac{1}{{\cos z}}\) et l’intégrale se ramène donc sous la forme \(\int {f(\sin t} ,\) \(\cos t)dt\)

III. Si \(\int {f(t} ,\) \(\sqrt {{n^2} - {m^2}{t^2}} )dt\)

Posons \(t = - \frac{n}{m}\sin z\), et l’intégrale se ramène donc sous la forme \(\int {f(\sin t} ,\) \(\cos t)dt\)

Exemple
Calculer les intégrales suivantes
\(I = \) \(\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{{\left( {{a^2} - {x^2}} \right)}^3}} }}} \)
Correction
Cette intégrale est du type \(\int {f(t,} \) \(\sqrt {{n^2} - {m^2}{t^2}} )dt\). Posons \(x = a\sin z\); alors \(dx = a\cos zdz\)
\(\int {\frac{{a\cos zdz}}{{\sqrt {{{\left( {{a^2} - {a^2}{{\sin }^2}z} \right)}^2}} }}} \) \( = \int {\frac{{a\cos dz}}{{{a^3}{{\cos }^3}z}}} \) \( = \frac{1}{{{a^2}}}\) \(\int {\frac{{dz}}{{{{\cos }^2}z}}} = \) \(\frac{1}{{{a^2}}}\tan z + cte\)
\(I = \frac{1}{{{a^2}}}\frac{{\sin z}}{{\cos z}}\) \( + cte = \frac{1}{{{a^2}}}\) \(\frac{{\sin z}}{{\sqrt {1 - {{\sin }^2}z} }} + cte\)
\(I = \frac{1}{{{a^2}}}\) \(\frac{x}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }} + cte\)