Exercice I

Soient S, T, T’ trois ensembles.
1 Montrer que : \(S \cap \left( {T \cup T'} \right)\) \( = \left( {S \cap T} \right)\) \( \cup \left( {S \cap T'} \right)\)
2 Soient \({T_1}\), \({T_2}\), ... , \({T_n}\), n ensembles. Montrer que :
\(S \cap ({T_1} \cup {T_2}\) \( \cup ... \cup {T_n}) = \) \(\left( {S \cap {T_1}} \right) \cup \) \(\left( {S \cap {T_2}} \right) \cup \) \(... \cup \left( {S \cup {T_n}} \right)\)

Exercice II

Soit \(f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}\) une application telle que \(f(xy) = \) \(f(x) + f(y)\) pour tout \(x,y \in \mathbb{N}\).
Montrer que \(f({a^n}) = \) \(nf(a)\) pour tout \(a \in \mathbb{N}\), \(n \in \mathbb{N}\).
2 Montrer que
\({\left( {1 + \frac{1}{1}} \right)^1}\) \({\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)^2}\) … \({\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^{n - 1}}\) = \(\frac{{{n^{n - 1}}}}{{\left( {n - 1} \right)}}\) énoncé incorrect

Exercice 3.

ABC désigne un triangle tel que BC = 2AB, D est milieu du segment [BC] et E est milieu du segment [BD].
On se propose de montrer que (AD) est la bissectrice de l’angle \(\widehat {CAE}\). Soit (DF) l’unique droite passant par D et parallèle à (AD) telle que \(F \in \left( {BA} \right)\).
1 Faire une figure lisible
2 Montrer que F est milieu du segment [AB] et que BF = BE.
3 Montrer que les triangles ABE et BDF sont congruents. En déduire que les angles \(\widehat {EAF}\) et \(\widehat {EDF}\) ont même mesure
4 Montrer que BA = BD et en déduire que les angles \(\widehat {BAD}\) et \(\widehat {DAC}\) ont même mesure.
5 Montrer que les angles \(\widehat {EAD}\) et \(\widehat {FDA}\) ont même mesure et que les angles \(\widehat {FDA}\) et \(\widehat {DAC}\) ont même mesure.
6 En déduire que (AD) est bissectrice de l’angle \(\widehat {CAE}\).