Correction exercice 2
On définit, sur R, la fonction \({G_k}\) par : \({G_k}(x) = \) \({e^{ - k.{x^2}}}\), où k est un nombre réel strictement positif.
1. Etudions les variations de \({G_k}\)
La fonction est paire, donc son graphe sera symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et on en fait l’étude que pour les réels positifs.
On obtient : \(G{'_k}(x) = \) \( - 2kx{e^{ - k{x^2}}}\) et la fonction est décroissante à valeurs dans l’intervalle 0,1.
L’axe des abscisses est une asymptote.
2. Résolvons l’équation : \({G_k}''(x) = 0\)
\(G'{'_k}(x) = \) \(2k{e^{ - k{x^2}}}\) \((2{k^2}{x^2} - 1)\)
Cette fonction s’annule pour \(x = \pm \frac{1}{{k\sqrt 2 }}\)
3. Traçons le graphe de Gk pour \(k = \frac{1}{2}\) et \(k = 1\)
On obtient une courbe de Gauss qui est plus étalée pour \(k = \frac{1}{2}\) que pour \(k = 1\).
4. On suppose \(k = \frac{1}{2}\). Soit a la solution positive de l’équation \(G'{'_k}(x) = 0\). Déterminons l’équation de la tangente au graphe de Gk au point d’abscisse a.
Pour \(k = \frac{1}{2}\) , a=1. L’équation de la tangente est donnée par :
\(y = {G_k}(1) + \) \(G{'_k}(1)(x - 1)\)
Soit \(y = \frac{{2 - x}}{{\sqrt e }}\)
Correction exercice 5
On considère la fonction numérique f à valeurs réelles définie par:
\(f(x) = \) \({x^2} \times \ln ({x^2} + 1)\)
On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan, muni d'un repère orthogonal et ln désigne le logarithme népérien.
1. Etudions les variations de la fonction f et tracer C.
On peut remarquer que la fonction est paire et son étude se fera pour les réels positifs.
La dérivée de f est égale à : \(f'(x) = \) \(2x\ln ({x^2} + 1)\) \( + \frac{{2{x^3}}}{{1 + {x^2}}} \ge 0\)
La fonction est donc strictement croissante sur \({R^ + }\), elle admet une branche parabolique dans la direction oy et est convexe.
2. Calculons \(I = \int\limits_0^1 {f(x)dx} \)
On calcule cette intégrale par parties : \(I = \) \(\int\limits_0^1 {{x^2}\ln (1 + {x^2})dx} \) \( = \) \(\left[ {\frac{{{x^3}}}{3}\ln (1 + {x^2})} \right]_0^1\) \( - \frac{2}{3}\int\limits_0^1 {\frac{{{x^4}}}{{1 + {x^2}}}dx} \)
Par ailleurs, \(\frac{{{x^4}}}{{1 + {x^2}}} = \) \({x^2} - 1 + \) \(\frac{1}{{1 + {x^2}}}\)
D’où \(\int\limits_0^1 {\frac{{{x^4}}}{{1 + {x^2}}}dx} = \) \(\left[ {\frac{{{x^3}}}{3} - x + \arctan (x)} \right]_0^1\) \( = - \frac{2}{3} + \frac{\pi }{4}\)
On obtient finalement : \(I = \) \(\int\limits_0^1 {{x^2}\ln (1 + {x^2})dx} \) \( = \frac{{\ln 2}}{3} - \frac{4}{9}\) \( - \frac{\pi }{6}\)
3. On considère la fonction numérique f n à valeurs réelles définie par:
\({f_n}(x) = {x^n}\) \( \times \ln ({x^2} + 1)\)
où n est un entier strictement supérieur à 2.
Etudions les variations de la fonction \({f_n}\) et tracer son graphe.
Si n est pair, la fonction est également paire, de même si n est impair, la fonction est impaire, d’où l’étude que sur les réels positifs.
La dérivée est égale à :
\({f_n}(x) = n{x^{n - 1}} \times \) \(\ln ({x^2} + 1) + \) \(\frac{{2{x^{n + 1}}}}{{1 + {x^2}}} = \) \({x^{n - 1}} \times \) \(\frac{{n(1 + {x^2})\ln (1 + {x^2}) + 2{x^2}}}{{1 + {x^2}}}\)
La fonction est donc strictement croissante sur \({R^ + }\), elle admet une branche parabolique dans la direction Oy et est convexe. La symétrie étant différente selon la parité de n.
4. Calculons \({J_n} = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^n}}}{{1 + {x^2}}}} dx\) en fonction de n
\({J_0} = \) \(\int\limits_0^1 {\frac{1}{{1 + {x^2}}}} dx = \) \(\left[ {\arctan x} \right]_0^1\) \( = \frac{\pi }{4}\)
\({J_1} = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{1 + {x^2}}}} dx\) \( = \frac{1}{2}\left[ {\ln (1 + {x^2})} \right]_0^1\) \( = \frac{{\ln 2}}{2}\)
\({J_2} = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{{1 + {x^2}}}} dx\) \( = \frac{1}{2}\left[ {x - \arctan x} \right]_0^1\) \( = 1 - \frac{\pi }{4}\)
On vérifie par récurrence les expressions suivantes :
\(\frac{{{x^{2n}}}}{{1 + {x^2}}} = \) \({x^{2n - 2}} - {x^{2n - 4}}\) \( + ... + {( - 1)^{n + 1}}\) \( + {( - 1)^n}\frac{1}{{1 + {x^2}}}\)
\(\frac{{{x^{2n + 1}}}}{{1 + {x^2}}} = \) \({x^{2n - 1}} - {x^{2n - 3}}\) \( + ... + \) \({( - 1)^{n + 1}} + \) \({( - 1)^n}\frac{1}{{1 + {x^2}}}\)
\({J_{2n}} = \) \(\int\limits_0^1 {\frac{{{x^{2n}}}}{{1 + {x^2}}}} = \) \(\frac{1}{{2n - 1}} - \) \(\frac{1}{{2n - 3}} + \) \(... + {( - 1)^{n + 1}}\) \( + {( - 1)^n}\frac{\pi }{4}\)
\({J_{2n + 1}} = \) \(\int\limits_0^1 {\frac{{{x^{2n + 1}}}}{{1 + {x^2}}}} = \) \(\frac{1}{{2n}} - \) \(\frac{1}{{2n - 2}} + \) \(... + {( - 1)^{n + 1}}\) \( + {( - 1)^n}\frac{{\ln 2}}{2}\)
5. Calculons \({I_n} = \) \(\int\limits_0^1 {{f_n}(x)dx} \) en fonction de n.
En l’intégrant par parties :
\({I_n} = \) \(\int\limits_0^1 {{f_n}(x)dx} = \) \(\left[ {\frac{{{x^{n + 1}}\ln (1 + {x^2})}}{{n + 1}}} \right]_0^1\) \( - \frac{2}{{n + 1}}\int\limits_0^1 {\frac{{{x^{n + 2}}}}{{1 + {x^2}}}dx} \)
\({I_n} = \frac{{\ln 2}}{{n + 1}}\) \( - \frac{2}{{n + 1}}{J_{n + 2}}\)
Il suffit alors de remplacer la deuxième intégrale par sa valeur trouvée à la question précédente, pour obtenir :
\({I_{2n}} = \frac{{\ln 2}}{{2n + 1}}\) \( - \frac{2}{{2n + 1}}{J_{2n + 2}}\)
\({I_{2n - 1}} = \frac{{\ln 2}}{{2n}}\) \( - \frac{1}{{2n}}{J_{2n + 1}}\)
