Correction deuxième épreuve de mathématique Concours ISSEA 2014

Correction exercice n° 5

Soit f l’application numérique définie par :
\(f(x) = \) \(\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\)
1. Étudions les variations de f.
La dérivée de f est égale à : \(f'(x) = \) \(\frac{{{x^2} + 2x}}{{{{(x + 1)}^2}}}\) . Cette dérivée s’annule en 0 et -2. La droite x=-1 est une asymptote verticale et la droite d’équation y=x est une asymptote oblique.
La fonction est strictement croissante de \(] - \infty , - 2]\) sur \(] - \infty , - 3]\)
La fonction est strictement décroissante de \([ - 2, - 1[\) sur \(] - 3, - \infty ]\)
La fonction est strictement décroissante de \(] - 1,0]\) sur \(] + \infty ,1]\)
La fonction est strictement croissante de \([0, + \infty [\) sur \([1, + \infty ]\)
2. On considère la suite \(({u_n})\) de nombres réels définie par : \({u_0} \succ 0\) et un \({u_{n + 1}} = f({u_n})\)
Etudions la convergence de cette suite \(({u_n})\). La suite est strictement positive \({u_{n + 1}} - {u_n} = \), \(\frac{1}{{1 + {u_n}}} \succ 0\) la suite est donc croissante. Si elle était majorée, elle convergerait vers une limite l qui vérifierait : \(l = f(l)\), ce qui est impossible, donc la suite est divergente.
3. Calculons \(\int\limits_0^1 {f(x)} dx\)
\(\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\) \( = x + \frac{1}{{x + 1}}\) \(\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}} dx\) \( = \int\limits_0^1 {xdx} + \) \(\int\limits_0^1 {\frac{1}{{x + 1}}dx} \) \( = \frac{1}{2} + \ln 2\)
4. Calculons \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \) \(\int\limits_1^x {(f(t) - t)dt} \)
On a \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \int\limits_1^x {(f(t) + t)dt = } \)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \int\limits_1^x {\frac{1}{{t + 1}}} dt = \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (\ln (x + 1)) = \) \( + \infty \)
5. Trouvons une fonction g continue telle que \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \int\limits_1^x {(g(t) + t)dt} \) soit finie. Si cette limite est finie, il faut que \({(g(t) + t)}\) tende vers zéro et que l’intégrale soit convergente. Soit, par exemple, \(g(t) = t + \frac{1}{t}\) et dans ce cas la limite recherchée est égale à 1.