Epreuve de mathématique Concours ISSEA 2015
Exercice n° 4
On note P l’ensemble des nombres entiers pairs strictement positifs. Soit n un élément de P. On cherche à écrire n sous la forme d’une combinaison linéaire des \(n - 1\) entiers qui le précèdent, c’est-à-dire 1, 2, 3, ...., \(n - 2\),\(n - 1\) tous les coefficients de cette combinaison n’étant que + 1 ou -1. Par exemple, on a \(4 = (( - 1) \times 1)\) \( + (1 \times 2) + \) \((1 \times 3))\)
En termes plus mathématiques, on cherche pour chaque \(n \in P\) une décomposition de la forme :
(E) \(n = \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {{\varepsilon _k}k} \) où le symbole \({{\varepsilon _k}}\) est le coefficient +1 ou -1 à affecter à l’entier k.
1. La décomposition d’un entier pair \(n \in P\) est-elle unique ?
2. Déterminer le sous-ensemble de P pour lequel existe une décomposition de type (E).
