Exercice 1

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation :
$\sqrt[3]{{x + a}} +$ $\sqrt[3]{{x + a + 1}} =$ $- \sqrt[3]{{x + a + 2}}$
2. Résoudre dans ${\mathbb{R}^2}$ le système d’équations
$\left\{ \begin{array}{l}\frac{5}{{{x^2} - xy}} + \frac{4}{{{y^2} - xy}} = - \frac{1}{6}\\\frac{7}{{{x^2} - xy}} - \frac{3}{{{y^2} - xy}} = \frac{6}{5}\end{array} \right.$
3. Simplifier et calculer l’expression
${\left( {\frac{{x - 9}}{{x + 3{x^{\frac{1}{3}}} + 9}}:\frac{{{x^{0,5}} + 3}}{{{x^{1,5}} - 27}}} \right)^{0,5}} - {x^{0,5}}$
4. Sachant que $\tan \frac{\alpha }{2} = m$, déterminer la valeur de l’expression
$A = \frac{{1 - 2{{\sin }^2}(\frac{\alpha }{2})}}{{1 + \sin (\alpha )}}$
5. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f définie par :
$f(x) =$ $\sqrt {{{\log }_{\frac{1}{3}}}({{\log }_3}(\left| {x - 3} \right|))}$
NB: ${\log _a}(b) = \frac{{\ln (b)}}{{\ln (b)}}$, $a \ne 1$ $a \succ 0$ et $b \succ 0$
6. Soit $f(x) =$ ${\cos ^4}(x) +$ ${\sin ^4}(x)$
Déterminer la valeur du nombre $f(\alpha )$ sachant que $\sin 2\alpha = \frac{2}{3}$

Exercice 2

Soit SABC une pyramide triangulaire de base ABC dont les côtés AB, AC, et SA sont divisés par les points K, M et N en segment respectifs tels que :
$\frac{{\left| {AK} \right|}}{{\left| {KB} \right|}} = \frac{3}{4}$; $\frac{{\left| {AM} \right|}}{{\left| {MC} \right|}} = \frac{5}{6}$; $\frac{{\left| {AN} \right|}}{{\left| {NS} \right|}} = \frac{5}{9}$
1. Faire une figure
2. Déterminer le rapport des volumes des solides obtenus après une coupe suivant le plan (KMN) de la pyramide SABC.