Exercice 1 FGI : Epreuve de physique pour BACC D, C et E 2014

Exercice 1
Un sauteur et son équipement (système S, de masse m = 84 kg, se laisse tomber (d'un saut à l'élastique) sous vitesse initiale d'un pont dont le plateau se trouve à une hauteur h = 270 m du sol. On peut considérer que le volume du sauteur et de son équipement est: V = 0, 25 m³. Par ailleurs l'ensemble des actions exercées par l'air, outre la poussée d'Archimède, sur le sauteur peut être modélisé par une force de frottement dont la valeur f est proportionnelle au carré de la vitesse acquise : \(f = \mu {v^2}\) où \(\mu \) = 0,78 unité SI. On donne masse volumique de l'air: \(\rho = 1,3kg/{m^3}\); accélération de pesanteur : \(g = 9,8 m/{s^2}\).
1. Montrer qu'il est légitime de ne pas prendre en compte la poussée d'Archimède. On négligera donc cette poussée dans tout ce qui suit.
2. A partir d'une analyse dimensionnelle, déterminer l'unité avec laquelle s'exprime la constante \(\mu \), dans le système international.
3. Ecrire dans le référentiel terrestre supposé Galiléen ,’la seconde loi de Newton appliquée au système (S). que devient cette vectorielle projetée sur un axe vertical Ox orienté vers le bas ?
En déduire l'équation différentielle vérifiée par la vitesse \({v_x}(t)\) au cours de la chute et vérifiée qu'elle est de la formel;
\(\frac{{d{v_x}(t)}}{{dt}} + Bv_x^2(t) = A\) où A et B sont des constantes
4. Avec quelles unités s’expriment A et B ?
5. Déterminer A et B en fonction des données.
6. En déduire l’expression de la vitesse limite \({v_{\lim }}\) (en fonction de m, g et \(\mu \)) puis calculer sa valeur.
7. La résolution de l'équation différentielle établie précédemment est obtenue par une méthode numérique. Un extrait de la feuille de calcul est représenté ci-dessous.

a) Quel est le pas \(\Delta t\) utilisé pour effectuer les calculs de \({v_x}(t)\)?
Cette méthode permet de prévoir, par le calcul, l'évolution de la composante \({v_x}(t)\), de la vitesse du système S au cours du temps. La détermination de \({v_x}({t_{i + 1}})\) est possible si celle de \({v_x}(t)\), est connue en appliquant la relation :
\({v_x}({t_{i + 1}}) = {v_x}({t_i})\) \( + {\left[ {\frac{{dvx(t)}}{{dt}}} \right]_{t = {t_i}}}.\Delta t\)
Déterminer par le calcul la vitesse \({v_x}(t = 0,8s)\) absente du tableau.