Exercice I (8 pts)
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow u ,\overrightarrow v )$. On pendra 2cm pour unité graphique. On appelle J le point d'affixe i.
On considère les points A,B,C,H d'affixes respectives ; $a = - 3 - i$; $b = - 2 + 4i$; $c = 3 + i$; $H = - 2$.
Placer ces points sur une figure. (2 pts)
2) Montrer que J est le centre du cercle ( C ) circonscrit au triangle ABC. Préciser le rayon du cercle (C) (3 pts)
3) Calculer, sous forme algébrique , le nombre complexe $\frac{{b - c}}{{h - a}}$. En déduire que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires. (3pts)

Exercice 2 (7 pts)
On donne les nombres complexes définis ci-dessous ${z_1} = - 1 - i$ et ${z_2} = \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}$
1) Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes z₁ et z₂. (2 pts)
2) En déduire le module et un argument de $\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}$ (2 pts)
3) Ecrire $\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}$ sous forme algébrique. ( l pt)
4) Déduire des questions précédentes les valeurs exactes de $\cos (\frac{{11\pi }}{{12}})$ et $\sin (\frac{{11\pi }}{{12}})$ ( 2 pts)

Exercice 3 (5 pts)
Pour tout entier naturel $n \ge 2$ on considère l’intégrale ${I_n} = \int_1^2 {\frac{1}{{{x^n}}}} {e^{\frac{1}{x}}}dx$
1) Calculer I₂ (1 pt)
2) Démontrer à l'aide d'une intégration par partie que pour tout entier naturel $n \ge 2$ :
${I_{n + 1}} = e - \frac{{\sqrt e }}{{{2^{n - 1}}}} + (1 - n){I_n}$ (2pts)
3) Calculer I₃ et I₄ ( 2 pts)