Exercice I (8 pts)
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \((O,\overrightarrow u ,\overrightarrow v )\). On pendra 2cm pour unité graphique. On appelle J le point d'affixe i.
On considère les points A,B,C,H d'affixes respectives ; \(a = - 3 - i\); \(b = - 2 + 4i\); \(c = 3 + i\); \(H = - 2\).
Placer ces points sur une figure. (2 pts)
2) Montrer que J est le centre du cercle ( C ) circonscrit au triangle ABC. Préciser le rayon du cercle (C) (3 pts)
3) Calculer, sous forme algébrique , le nombre complexe \(\frac{{b - c}}{{h - a}}\). En déduire que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires. (3pts)

Exercice 2 (7 pts)
On donne les nombres complexes définis ci-dessous \({z_1} = - 1 - i\) et \({z_2} = \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
1) Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes z₁ et z₂. (2 pts)
2) En déduire le module et un argument de \(\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}\) (2 pts)
3) Ecrire \(\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}\) sous forme algébrique. ( l pt)
4) Déduire des questions précédentes les valeurs exactes de \(\cos (\frac{{11\pi }}{{12}})\) et \(\sin (\frac{{11\pi }}{{12}})\) ( 2 pts)

Exercice 3 (5 pts)
Pour tout entier naturel \(n \ge 2\) on considère l’intégrale \({I_n} = \int_1^2 {\frac{1}{{{x^n}}}} {e^{\frac{1}{x}}}dx\)
1) Calculer I₂ (1 pt)
2) Démontrer à l'aide d'une intégration par partie que pour tout entier naturel \(n \ge 2\) :
\({I_{n + 1}} = e - \frac{{\sqrt e }}{{{2^{n - 1}}}} + (1 - n){I_n}\) (2pts)
3) Calculer I₃ et I₄ ( 2 pts)