Partie A : Évaluation des compétences (15 points).

Exercice 1 : 03 points

Pour toute fonction continue \(g\) définie de \(\mathbb{R}\) vers \(\mathbb{R}\), on définit la fonction \(G\) sur \(\mathbb{R}\) par : \(G(x) = \) \(\int_x^{x + 1} {g(t)dt} \)
1. Justifier que la fonction \(G\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et que pour tout réel \(x\),
\(G'(x) = \) \(g(x + 1) - g(x)\) 1 pt
2. En déduire que si \(g\) est périodique de période 1 et \(\int_0^1 {g(t)dt} = 0\), alors pour tout réel \(x\), \(G(x) = 0\) 1 pt
3. On suppose dans cette question que \(g(x) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
Donner le sens des variations de \(G\) sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 2 : 03 points

On lance trois fois de suite un dé cubique dont les faces sont équilibrées, et numérotées de 1 à 6. On note à chaque fois le numéro de la face de dessus du dé a, b et c désignent respectivement les numéros lus au premier, deuxième et troisième lancer respectivement.
1. a. Montrer que les solutions de l’équation différentielle (E) : \(ay'' - by'\) \( + cy = 0\) sont de la forme \(y = {e^x}({k_1}\cos x\) \( + {k_2}\sin x)\) où \({k_1}\) et \({k_2}\) sont des constantes réelles si et seulement si \(1 + i\) est une solution de l’équation caractéristique associée à (E). 0,5 pt
b. Donner alors une condition nécessaire et suffisante sur a, b et c pour que les fonctions \(x \mapsto {e^x}({k_1}\cos x\) \( + {k_2}\sin x)\) soient les solutions de (E). 1 pt
2. Calculer la probabilité pour que les solutions de l’équation différentielle
\(ay'' - by'\) \( + cy = 0\) soient de la forme \(y = {e^x}({k_1}\cos x\) \( + {k_2}\sin x)\) \({k_1}\) et \({k_2}\) sont des constantes réelles. 1,5 pt

Exercice 3 : 04 points

\(f\) est la fonction définie sur \(\left[ {0;1} \right]\) par \(f(x) = \) \(\frac{x}{{x + 2}}\)
1. Montrer que \(f\left( {\left[ {0;1} \right]} \right)\) \( \subset \left[ {0;1} \right]\) 0,5 pt
2. Montrer que pour tout couple \(\left( {x;y} \right)\) des réels de \(\left[ {0;1} \right]\), \(|f(x) - \) \(f(y)| \le \) \(\frac{1}{2}|0;1|\) 0,5 pt
3. On définit la suite \(\left( {{u_n}} \right)\) par \({u_0} = \left[ {0,1} \right]\) et pour tout entier naturel \(n\), \({u_{n + 1}} = \) \(f({u_n})\).
a. Montrer que la suite \(\left( {{u_n}} \right)\) est décroissante. 0,5 pt
b. En déduire que \(\left( {{u_n}} \right)\) est convergente. 0,5 pt
c. Justifier que pour tout entier naturel non nul \(n\), \(\left| {{u_{n + 1}} - {u_n}} \right|\) \( \le \frac{1}{2}|{u_n} - {u_{n - 1}}|\) 0,5 pt
d. En déduire que pour tout entier naturel \(n\), \(\left| {{u_n} - {u_{n - 1}}} \right| \le \) \(\frac{1}{{{2^{n - 1}}}}\left| {{u_1} - {u_0}} \right|\) et \(\left| {{u_n} - {u_{n - 1}}} \right| \le \) \(\frac{1}{{{2^{n - 1}}}}\) 0,5 pt
e. De la relation
\({u_{q + p}} - {u_p} = \) \(({u_{q + p}} - {u_{q + p - 1}}) + \) \(({u_{q + p - 1}} - {u_{q + p - 2}}) + \) \(... + ({u_{p + 1}} - {u_p})\)
Montrer que pour tout couple \(\left( {p;q} \right)\) d’entiers naturels,
\(\left| {{u_{q + p}} - {u_p}} \right| \le \) \(\frac{1}{{{2^p}}}(\frac{1}{{{2^{q - 1}}}} + \frac{1}{{{2^{q - 2}}}}\) \( + ... + \frac{1}{2} + 1)\) 1pt

Exercice 4 : 5 points

ABC est un triangle isocèle en A tel que \(mes\left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right)\) \( = - \frac{\pi }{4}\) rad; I le point du plan tel que CAI soit isocèle rectangle et \(mes\left( {\overrightarrow {CA} ;\overrightarrow {CI} } \right)\) \( = - \frac{\pi }{2}\) rad, O le point d’intersection des médiatrices respectives des segments \(\left[ {AI} \right]\) et \(\left[ {BC} \right]\).
1. Faire une figure. 1 pt
2. Montrer que ABOC est un losange. 0,5 pt
3. S est la similitude directe de centre O, et transformant A en B ; H le milieu de \(\left[ {BC} \right]\); C’et H’ les images respectives de C et de H par S.
3.1 Déterminer une mesure en radians de l’angle de S. 0,25 pt
3.2 Montrer que C’ est sur la droite (OH). 0,25 pt
3.3 Montrer que H’ est le milieu de \(\left[ {OB} \right]\). 0,25 pt
3.4 Montrer que les droites (C’H’) et (OB) sont perpendiculaires. 0,25 pt
3.5 En déduire le centre du cercle circonscrit au triangle OBC et que le triangle BC’C est rectangle et isocèle en C’. 1,5 pt
4. On suppose dans toute cette question que AB = 2.
a. Montrer que \(HC = \sqrt {2 - \sqrt 2 } \), puis que \(HO = \sqrt {2 + \sqrt 2 } \). 0,75 pt
b. En déduire le rapport de S.0,25 pt

Partie B : Évaluation des compétences

Situation :
Un architecte conçoit un monument à placer sur une surface rectangulaire surélevée par quatre piliers AD=3 m, AB=2m, AC=2m et \(mes\left( {\widehat {BAC}} \right)\) \( = {30^o}\). Ce monument doit être rempli de béton léger, avec des faces latérales à couvrir par des carreaux. À la veille de la réalisation de l’ouvrage, le maire voudrait qu’on prévoit au moment du coulage du monument, un trou permettant plus tard de fixer une tige en fer devant porter le drapeau de la république. Cette tige doit être verticale et s’appuyer sur le centre de la base ABC.
Tâches :
1. Quel volume approximatif prévoir pour réaliser ce monument. 1,5 pt
2. Pour quelle surface approximative, doit prévoir des carreaux ? 1,5 pt
3. Où doit-on faire passer la tige sur la face BCD ? 1,5 pt

Présentation générale : 0,5 pt