Exercice 3 : Utilisation des savoirs

A-Uniquement la série TI / 8pts

A.1. Radioactivité
Déterminons en Mev l’énergie moyenne de liaison par nucléon du noyau de ${}_6^{14}C$
$\varepsilon = \frac{{{E_l}}}{A}$ 0,5 pt
Calcul de l’énergie de liaison
${E_l} = \Delta m{C^2}$ $= [Z{m_p} + (A - Z){m_n}$ $- m({}_6^{14}C)]{C^2}$ 0,5 pt
AN : ${E_l} = 70,2592$Mev 0,5 pt
Calcul de l’énergie moyenne de liaison par nucléon
$\varepsilon = \frac{{{E_l}}}{A}$ 0,5 pt
AN : $\varepsilon = \frac{{70,2592}}{{14}}$ $= 5,018$ Mev 0,5 pt
A.1.2 Equation de désintégration de ${}_6^{14}C$
$_6^{14}C \to {}_{ - 1}^0e$ $+ {}_x^yX + E$ 1 pt
D’après les lois de conservation de SODDY on a : $\left\{ \begin{array}{l}x = 14\\y = 7\end{array} \right.$ 1 pt

A.2 Stroboscopie
Déterminons la plus grande fréquence des éclairs pour laquelle le disque parait immobile avec un rayon blanc
$N = 24Hz$ et $10 \le Ne \le 50$
Posons $N = kNe$ avec $k \in {N^*}$ ainsi $10 \le \frac{N}{k} \le 50$ $\Rightarrow 0,48 \le k$ $\le 2,4$
• Les valeurs de k pour lesquelles on observe l’immobilité apparente du disque sont k=1 et k=2
• La valeur de la plus grande fréquence des éclairs pour laquelle le disque parait immobile avec un rayon est $Ne = kN$ $= 1 \times 24 = 24$ Hz 1 pt

A.3 Construction de Fresnel
${x_1}(t) =$ $4\cos (100\pi t)$ cm et ${x_2}(t) = 4$ $\cos (100\pi t + \frac{\pi }{4})$ cm
L’élongation résultante sera de la forme $x(t) = A$ $\cos (100\pi t + \varphi )$
Ainsi, d’après la formule démontrer dans le cours
$A =$ $\sqrt {{4^2} + {4^2} + 24.4\cos \frac{\pi }{4}}$ $= 7,39$ cm 0,5 pt
$\tan \varphi =$ $\frac{{4\sin 0 + 4\sin \frac{\pi }{4}}}{{4\cos 0 + 4\cos \frac{\pi }{4}}}$ $= 0,4142$
$\varphi = {22,49^o}$ $= 0,12\pi$ 0,5 pt
$x(t) = 7,39\cos$ $\left( {100\pi + 0,12\pi } \right)$ en cm 0,5 pt

B-Uniquement la série D / 8pts

B.1. Réaction de fusion nucléaire
B.1.1 Identification de la particule X
${}_1^2H + {}_1^3H \to$ ${}_2^4He + {}_Z^AX$ $+ \gamma$ 0,5 pt
En utilisant les lois de conservations de SODDY, on a : $2 + 3 =$ $4 + A$ et $1 + 1 =$ $2 + Z$
soit A=1 et Z= 0 d’où l’élément X est un neutron
${}_1^2H + {}_1^3H \to$ ${}_2^4He + {}_0^1n$ $+ \gamma$ 0,5 pt
B.1.2 Énergie produite par cette réaction
$E = \left| {\Delta m} \right|{C^2}$ $= |{m_{reactifs}} -$ ${m_{produits}}|{C^2}$ 1 pt
AN : $E = 1,49 \times {10^{ - 10}}$ J 1 pt

B.2. Pendule simple
B.2.1. Mode opératoire permettant de déterminer la période d’un pendule simple.
Après avoir monté le dispositif constitué d’un support, d’un solide s de masse m, de dimensions négligeables et d’un fil inextensible de longueur L et de masse négligeable.
On écarte l’ensemble (solide + fil) de la position d’équilibre d’un angle $\theta$ petit qu’on mesure à l’aide d’un rapporteur puis on abandonne le système sans vitesse initiale. On compte n oscillations ainsi que la durée totale(t) de ces oscillations à l’aide d’un chronomètre. En posant t=nT on déduit la période (T) du pendule ainsi constitué. 2 pts
B.2.2. Calcul de la longueur de ce pendule
$T = 2\pi \sqrt {\frac{L}{g}}$ $\Rightarrow L = \frac{{{T^2}g}}{{4{\pi ^2}}}$ 0,5 pt
AN : $L = 0,98$ m 0,5 pt

B.2.3. Tension du fil au passage par la position d’équilibre
D’après le TCI $\overrightarrow T + \overrightarrow P = m{\overrightarrow a _G}$
En projetant suivant la normale passant par le centre de rotation (point d’accroche du fil), nous avons
$T = mg + m{a_n}$ $= m\left( {g + \frac{{{V^2}}}{L}} \right)$ avec ${V^2} =$ $2gL\left( {1 - \cos \theta } \right)$, nous avons après substitution
$T = mg$ $\left( {3 - 2\cos \theta } \right)$ 0,5 pt +0,5 pt
AN : $T = 0,62$ N

II Évaluation des compétences

Situation problème :
Données : VA=260m/s, g=9,8m/s, ${10^o} \le \theta \le {90^o}$, V0=36km/h, $\left\{ \begin{array}{l}{y_A} = 3,30km\\{x_A} = 9,40km\end{array} \right.$
1. Utilisons un raisonnement scientifique et les données pour proposer au chef de village la distance minimale de sécurité à observer par les populations
a) Établissons d’abord les équations horaires du mouvement
1 pt
En appliquant le TCI à une particule de masse m dans un référentiel de laboratoire supposé galiléen, on a : ${\overrightarrow a _G} = \overrightarrow g$
Ainsi $\overrightarrow {OM} \left| \begin{array}{l}x\\y\end{array} \right.$ avec $x(t) =$ $\left( {{V_0}\cos \alpha } \right)t$ $+ {x_A}$ et $y(t) = - \frac{1}{2}g{t^2}$ $+ {V_0}\sin \alpha t + {y_A}$ 1 pt
b) Équation de la trajectoire 1 pt
$y = - \frac{1}{2}\frac{g}{{V_0^2{{\cos }^2}\alpha }}{x^2}$ $+ x\tan \alpha + {y_A}$
c) Expression de la portée
Au sol y=yA soit ${x_P} =$ $\frac{{V_0^2\sin 2\alpha }}{g}$
d) calcul de la portée minimale
Pour $\alpha = {10^o}$ la portée d’une particule est minimale
AN : ${x_P} =$ $\frac{{{{260}^2}\sin {{20}^o}}}{{9,8}}$ $= 2,35$ Km
On conclut que la distance minimale de sécurité à observer par la population est à d=2,36 km du pied du volcan.
2. En exploitant les informations, examinons si le touriste s’échappera en tout sécurité
a) calculons la portée d’une particule pour $\alpha = {35^o}$
${x_P} = \frac{{{{260}^2}\sin {{70}^o}}}{{9,8}}$ $= 6,48$ km
b) Comparons cette portée à la distance où se trouve le touriste soit X la position du touriste au moment où il entend le bruit. On a $X = 9400 -$ $30 = 9,37$ km
c) conclusion : comme la portée de la particule chaude est inférieure à la position du touriste, il s’échappera en toute sécurité