Partie A : Évaluation des ressources : (10 points)

l. Activités numériques : (5 points)

Exercice 1 (3 points)

A- Reproduisons et complétons le tableau par la lettre précédant la réponse juste pour chaque question. 2 pts

B- Répondons par Vrai (V) ou Faux (F) en reproduisant et en complétant le tableau. 1 pt

Exercice 2 (2 points)

1) En utilisant l'algorithme d’Euclide, montrons que le PGCD de 378 et 270 est 54. 1 pt

Le dernier reste non nul est 54 ; donc PGCD(378 ; 270) = 54.
2) a) Déterminons le nombre de lots identiques qu'on pourra placer sur un certain nombre de tables en utilisant toutes les canettes. 0,5 pt
Ce nombre de lots identiques est le PGCD(378 ; 270) = 54.
2) b) Déterminons la composition de chacun de ces lots.
Nombre de canettes de jus dans chaque lot : 378 + 54 = 7. 0,5 pt
Nombre de canettes de bière dans chaque lot : 270 + S4 = 5. 0,5 pt

II. Activités géométriques : / 5 points)

Exercice 1 (3 points)

1. Traçons le triangle ABC et démontrons que ce triangle est rectangle en B. 0,75 pt
On a :
\(A{B^2} = {\left( {4,5} \right)^2}\) \( = 20,25\)
\(B{C^2} = {6^2}\) \( = 36\)
\(A{C^2} = {\left( {7,5} \right)^2}\) \( = 56,25\)
On constate que \(A{C^2} = \) \(A{B^2} + B{C^2}\)
Donc le triangle ABC est rectangle en B, d’après la réciproque de la propriété de Pythagore. 0,75 pt
2. a) Plaçons E et F sur la figure. 0,5 pt
Voir figure ci-dessus. 0,5 pt
2. b) Démontrons que les droites (EF) et (BC) sont parallèles.
On a : \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{1,5}}{{4,5}}\) \( = \frac{1}{3}\) et \(\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{2,5}}{{7,5}}\) \( = \frac{1}{3}\) , On constate que \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}\) et la position de E sur (AB) est la même que celle de F sur (AC); donc les droites (EF) et (BC) sont parallèles, d'après la réciproque de la propriété de Thalès. 0,75 pt
3. Calculons EF, puis déduisons-en l’aire du trapèze EBCF.
Dans le triangle ABC, \(E \in \left[ {AB} \right]\) et \(F \in \left[ {AC} \right]\) Puisque (EF) est parallèle à (BC), alors d'après la propriété de Thalès, on a : \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}\) \( = \frac{{EF}}{{BC}}\); donc \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{EF}}{{BC}}\). 1 pt
Ainsi, \(\frac{{1,5}}{{4,5}} = \frac{{EF}}{6}\) \( \Rightarrow EF = \) \(\frac{{1,5 \times 6}}{{4,5}} = 2\);
L'aire du trapèze EBCF est égale à \(\frac{{\left( {BC + EF} \right) \times EB}}{2}\) \( = \frac{{\left( {6 + 2} \right) \times 3}}{2}\) \( = 12\) Soit 12 cm²

Exercice 2 (2 points)

1) Associons à chacune des droites, son équation cartésienne. 0,75 pt
(D1): \(2x - y\) \( + 2 = 0\);
(D2): \(2x - y\) \( - 2 = 0\);
(D3): \(x + 2y\) \( - 2 = 0\).
2) Déterminons les coefficients directeurs des droites (D₁) et (D₂) et déduisons qu'elles sont parallèles.
\(2x - y\) \( + 2 = 0\) équivaut à \(y = 2x + 2\)
\(2x - y\) \( - 2 = 0\) équivaut à \(y = 2x - 2\)
Puisque les deux droites (D₁) et (D₂) ont le même coefficient directeur qui est 2, alors elles sont parallèles. 0,5 pt
3) a) Déterminons le couple (x ; y) de nombre réel vérifiant : \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = - 2\\x + 2y = - 2\end{array} \right.\)
Exprimons \(y\) en fonction de \(x\) dans la première équation. On a : \(y = 2x + 2\).
Remplaçons \(y\) par son expression en fonction de \(y\) dans la deuxième équation. On a :
\(x + 2\) \(\left( {2x + 2} \right) = - 2\) \( \Rightarrow x = \) \( - \frac{6}{5}\) et \(y = - \frac{2}{5}\) Ainsi \(\left( {x;y} \right) = \) \(\left( { - \frac{6}{5}; - \frac{2}{5}} \right)\) 0,5 pt
3) b) Déduisons-en une interprétation graphique de ce résultat. 0,25 pt
Les droites d'équations respectives \(2x - y\) \( + 2 = 0\) et \(2x - y\) \( - 2 = 0\) sont sécantes au point de coordonnées \(\left( {x;y} \right) = \) \(\left( { - \frac{6}{5}; - \frac{2}{5}} \right)\)

Partie B : Évaluation des compétences : (10 points)

Références et solutions
1) Déterminons le volume minimal d’eau en m’ provenant du puits, que la famille Ateba doit utiliser pour payer une facture d'eau d'un montant inférieur ou égal à 25 O00 FCFA.
• Déterminons le volume d’eau maximal en m³ de la société « EAU - POUR - TOUS » pour lequel le montant de la facture d’eau est inférieur ou égale à 25 O00 FCFA.
Soit x la consommation d'eau en m³ provenant de la société « EAU-POUR-TOUS », on a :
\(365x + 365x\) \( \times \frac{{19,25}}{{100}} \le \) \(25000\). Ce qui permet de trouver \(x \le 57,43\)m, donc ce volume maximal à l'unité près est égal à 57 m³.
• Calculons le volume minimal d'eau en m³ provenant du nuits crue doit utiliser la famille Ateba pour paver une facture d'eau d'un montant inférieur ou égale à 25 000 FCFA.
Soit V ce volume. \(V = 80 - 57\) \( = 23\) m³.
Donc la famille Ateba doit utiliser au moins 23 m³ d'eau provenant du puits, pour payer une facture d'eau d'un montant inférieur ou égal à 25 000 FCFA.
2) Déterminons la consommation minimale des ampoules économiques (en kwh), pour que la famille Ateba paie une facture d'électricité d'un montant inférieur ou égal à 26 000 FCFA.
• Déterminons la consommation maximale d'électricité en kwh de la société a SONELEC » pour laquelle le montant de la facture d'électricité est inférieur ou égal à 26 000 FCFA.
Soit \(y\) cette consommation, on a : \(65y + 65y\) \( \times \frac{{19,25}}{{100}} \le \) \(26000\). Ce qui permet de trouver \(y \le 335,42\) kwh ; donc cette consommation maximale à l'unité près en égale à 335 kwh
• Calculons la consommation minimale des ampoules économiques (en kwh) de la famille Ateba pour paver une facture d'électricité d'un montant inférieur ou égal à 26 000 FCFA.
Soit C cette consommation. \(C = 385 - \) \(335 = 50\) kwh.
Donc la consommation minimale des ampoules économiques de la famille Ateba pour payer une facture d'électricité d'un montant inférieur ou égal à 26 000 FCFA est 50 kwh.
3) Déterminons le nombre minimal de fagots de bols que la famille Ateba doit utiliser pour payer une facture de gaz d'un montant inférieur ou égal à 7 000 FCFA.
• Déterminons la quantité maximale de gaz en litres pour laquelle le montant de la facture de gaz est inférieur ou égal à 7 000 FCFA.
Soit \(z\) cette quantité, on a : \(550z \le 7000\). Ce qui permet de trouver \(z \le 12,72\) litres.
Calculons la quantité minimale de gaz en litres que doit utiliser la famille Ateba.
Soit \(Q\) cette quantité. Q= 24 -12,72 = 11,28 litres.
Calculons le nombre minimal de fagots de bois que doit utiliser la famille Ateba pour paver une facture de gaz d'un montant inférieur ou égal à 7 000 FCFA.
\(\frac{{11,28}}{4} = \) \(2,83 \approx 3\) fagots.
Donc le nombre minimal de fagot de bois que doit utiliser la famille Ateba pour payer une facture de gaz d'un montant inférieur ou égal à 7 000 FCFA est 3.