Exercice 1 : 5 points

Écrivons le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse juste.

Exercice 2 : 5 points

1) Recopions et complétons le tableau ci-dessous. 2 pts

2) calculons la probabilité de chacun des évènements suivants :
A : « les élèves choisis aimeraient être enseignants ». 1 pt
\(p(A) = \frac{{C_{18}^2}}{{C_{25}^2}} = \) \(\frac{{153}}{{2775}} = \frac{{51}}{{925}}\)
B : « les élèves choisis sont des garçons ayant opté pour la profession journaliste ». 1 pt
\(p(B) = \frac{{C_{12}^2}}{{C_{25}^2}} = \) \(\frac{{66}}{{2775}} = \frac{{22}}{{925}}\)
C : « les élèves choisis sont des filles qui aimeraient être avocates ». 1 pt
\(p(C) = \frac{{C_{15}^2}}{{C_{25}^2}} = \) \(\frac{{66}}{{2775}} = \frac{{22}}{{925}}\)

Problème : 10 points

1- a) Par une conjoncture bien fondée, donnons l'ensemble de définition de \(f\).
\(Df = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\} = \) \(\left] { - \infty ;1} \right[ \cup \) \(\left] {1; + \infty } \right[\)
1- b) Par une conjoncture bien fondée, donnons les limites de \(f\) en \({ - \infty }\) , \({ - \infty }\), à gauche de 1 et à droite de 1. 1 pt
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = + \infty \)
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = - \infty \)
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = + \infty \)
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = - \infty \)
1- c) La droite (D') représente pour la courbe (C) l’asymptote parallèle à l'axe des ordonnées ou l’asymptote d'équation x = 1. 0,5 pt
2- a) Déterminons \(a\) et \(b\). 1 pt
\(\left( D \right):y = \) \(ax + b\) les points de coordonnées \(\left( {0;1} \right)\) et \(\left( {1;0} \right)\) appartiennent à \(\left( D \right)\) ; donc \(a\) et \(b\) vérifient le système d'équations
\(\left\{ \begin{array}{l}b = 1\\a + b = 0\end{array} \right.\)
En résolvant ce système, on obtient \(a = - 1\) et \(b = 1\)
2- b) Etudions les positions relatives de \(\left( C \right)\) et \(\left( D \right)\).
• Sur \(\left] { - \infty ;1} \right[\) la courbe \(\left( C \right)\) est au-dessus de la droite \(\left( D \right)\). 0,5 pt
• Sur \(\left] {1; + \infty } \right[\) la courbe \(\left( C \right)\) est en-dessous de la droite \(\left( D \right)\). 0,5 pt
3- a) Déterminons les réels \(f( - 2)\) , \(f( 4)\) . \(f'( - 2)\) et \(f’( 4)\)
• \(f( - 2) = 6\)
• \(f( 4) = - 6\)
• \(f‘( - 2) = 0\)
• \(f( 4) = 0\)
3- b) Donnons le sens de variations de \(f\). 1 pt
\(f\) est croissante sur l'intervalle \(\left[ { - 2;1} \right[\) et sur l'intervalle \(\left] {1;4} \right]\).
\(f\) est décroissante sur l'intervalle \(\left] { - \infty ;2} \right]\) et sur l'intervalle \(\left[ {4; + \infty } \right[\)
3 - c) Dressons le tableau de variation de \(f\). 1 pt
4- a) Montrons que \(a'\), \(b'\) et \(c'\) sont solutions du système 1 pt
\(\left\{ \begin{array}{l}4x - 2y + z = - 18\\16x + 4y + z = - 18\\8x - y - z = 0\end{array} \right.\)
• \(f( - 2) = 6 \Rightarrow \) \(4a' - 2b' + c'\) \( = - 18\)
• \(f(4) = - 6 \Rightarrow \) \(16a' + 4b' + c'\) \( = - 18\)
• \(f( - 2) = 0 \Rightarrow \) \(8a' - b' - c'\) \( = 0\)
D'où a‘, b' et c’ sont solutions du système 4-a)
4- b) Résolvons dans \(\mathbb{R}\) le système de la question 4- a). 1,5 pt
En résolvant le système par la méthode du Pivot de Gauss ou la substitution, on obtient \(\left( {x;y;z} \right) = \) \(\left( { - 1;2; - 10} \right)\)
4- c) Déduisons-en que \(f(x) = \) \(\frac{{ - {x^2} + 2x - 10}}{{x - 1}}\)
D'après la question précédente \(\left( {a';b';c'} \right) = \) \(\left( { - 1;2; - 10} \right)\) donc :
\(f(x) = \) \(\frac{{ - {x^2} + 2x - 10}}{{x - 1}}\)
5. Montrons que \(g\) est une primitive de \(f\) sur \(\left] {1; + \infty } \right[\)
Pour tout \(x \in \left] {1; + \infty } \right[\);\(g(x) = - \frac{1}{2}{x^2}\) \( + x + 2015 - \) \(9\ln \left( {x - 1} \right)\) donc pour tout \(x \in \left] {1; + \infty } \right[\),\(g'(x) = f(x)\) ainsi \(g\) est une primitive de \(f\) sur \(\left] {1; + \infty } \right[\)