Partie A : Évaluation des ressources

Exercice 1

1.a) Construisons le rectangle ABCD et plaçons le point O 0,5 pt
b) Démontrons que : \( - 24\overrightarrow {MA} + 12\overrightarrow {MB} \) \( + 12\overrightarrow {MD} = 12\overrightarrow {AC} \) 0,5 pt
D’après la relation de Chasles \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \)
\( - 24\overrightarrow {MA} + 12\overrightarrow {MB} \) \( + 12\overrightarrow {MD} = - 24\overrightarrow {MA} \) \( + 12\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} } \right)\) \( + 12\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AD} } \right) = \) \(12\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) = \) \(12\overrightarrow {AC} \)
c) Démontrons que : \(M{A^2} + M{B^2}\) \( + M{C^2} + M{D^2}\) \( = 4O{M^2} + A{C^2}\) 1 pt
O est le milieu du segment [AC] ; on a: \(M{A^2} + M{C^2}\) \( = 2O{M^2} + O{A^2}\) \( + O{C^2}\left( 1 \right)\)
O est le milieu du segment [BD] ; on a : \(M{B^2} + M{D^2}\) \( = 2O{M^2} + O{B^2}\) \( + O{D^2}\left( 2 \right)\)
En effectuant la somme (1) +(2) et en utilisant le fait que \(OA = OB\) \( = OD\)
\(M{A^2} + M{B^2} + \) \(M{C^2} + M{D^2} = \) \(4O{M^2} + 4O{A^2}\) \( = 4O{M^2} + A{C^2}\) car \(AC = 2OA\)
2. Déterminons la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble \(\left( \sum \right)\) 1 pt
\(M{A^2} + M{B^2} + \) \(M{C^2} + M{D^2} = || - \) \(24\overrightarrow {MA} + 12\overrightarrow {MB} + \) \(12\overrightarrow {MD} ||\)
\(M \in \left( \sum \right) \Leftrightarrow \) \(4O{M^2} + A{C^2}\) \( = 12AC\)
\(M \in \left( \sum \right) \Leftrightarrow \) \(4O{M^2} = \) \(12AC - A{C^2}\) avec \(A{C^2} = A{D^2}\) \(\begin{array}{l} + D{C^2}\\\end{array}\) \( = 100 \Rightarrow \) \(AC = 10\)
\(M \in \left( \sum \right) \Leftrightarrow 4O{M^2}\) \( = 12 \times 10 - 100\) \( = 20\)
\(M \in \left( \sum \right) \Leftrightarrow \) \(OM = \sqrt 5 \), Donc \(\left( \sum \right)\) décrit le cercle de centre O et de rayon \(\sqrt 5 \)

Exercice 2

1) Justifions que l'ensemble de définition de \(f\) est : \({D_f} = \) \(\left] { - \infty ,0} \right[ \cup \) \(\left] {0, + \infty } \right[\) et déterminons les limites aux bornes de l'ensemble de définition. 1,25 pt
\(f(x)\) existe si et seulement si \(x \in \mathbb{R}\) et \(x \ne 0\).
Donc \({D_f} = \mathbb{R} - \left\{ 0 \right\}\), ou encore \({D_f} = \left] { - \infty ,0} \right[\)\( \cup \left] {0, + \infty } \right[\)
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - \frac{x}{2}} \right)\) \( \to + \infty \)
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - \frac{x}{2}} \right)\) \( \to - \infty \)
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {\frac{2}{x}} \right) \to - \infty \)
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\frac{2}{x}} \right) \to + \infty \)
2) Que peut-on dire de la droite d'équation \(x = 0\) ? 0,25 pt
La droite d'équation \(x = 0\) est une asymptote verticale à la courbe de \(f\) . 0,25 pt
3) Justifions que la droite d'équation \(y = - \frac{x}{2}\) est asymptote à la courbe de \(f\) en \({ + \infty }\) et en \({ - \infty }\) 0,5 pt
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {f(x) - \frac{2}{x}} \right)\) \( = 0\)
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {f(x) - \frac{2}{x}} \right)\) \( = 0\)
La droite d'équation \(y = - \frac{x}{2}\) est asymptote à la courbe de \(f\) en \({ - \infty }\) et en \({ + \infty }\).
4) Déterminons \({f'(x)}\) pour \(x \ne 0\), son signe et le tableau des variations de \(f\).
\(f'(x) = - \) \(\left( {\frac{1}{2} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)\). Or pour tout \(x \ne 0\), \(\left( {\frac{1}{2} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right) \succ 0\)
On conclut que pour \(x \ne 0\) , \(f'(x) \prec 0\) . Donc la fonction \(f\) est strictement décroissante sur \(\left] { - \infty ,0} \right[\) et sur \(\left] {0, + \infty } \right[\). Le tableau de variation de \(f\) est :
5) Démontrons que l'origine O du repère est centre de symétrie à la courbe de \(f\). 0,5 pt
Pour tout \(x \in \mathbb{R} - \left\{ 0 \right\}\)}, on a \(f( - x) = - f(x)\). Donc, \(f\) est une fonction impaire et par conséquent l'origine O du repère est centre de symétrie à (\({C_f}\))
6) Traçons avec soin la courbe de \(f\).

Exercice 3

1) Démontrons que \(\cos \frac{\pi }{{12}}\cos \frac{{5\pi }}{{12}}\) \( + \sin \frac{\pi }{{12}}\sin \frac{{5\pi }}{{12}} = \frac{1}{2}\)
En effet :
• \(\cos \frac{\pi }{{12}}\cos \frac{{5\pi }}{{12}} + \) \(\sin \frac{\pi }{{12}}\sin \frac{{5\pi }}{{12}} = \) \(\cos \left( {\frac{\pi }{{12}} - \frac{{5\pi }}{{12}}} \right)\) \( = \cos \left( { - \frac{{4\pi }}{{12}}} \right)\) \( = \cos \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)\) \( = \frac{1}{2}\) 0,5 pt
• \(\cos \frac{\pi }{{12}}\cos \frac{{5\pi }}{{12}} - \) \(\sin \frac{\pi }{{12}}\sin \frac{{5\pi }}{{12}} = \) \(\cos \left( {\frac{\pi }{{12}} + \frac{{5\pi }}{{12}}} \right)\) \( = \cos \left( {\frac{{6\pi }}{{12}}} \right)\) \( = \cos \left( {\frac{\pi }{2}} \right)\) \( = 0\) 0,5 pt
2) Déduisons-en que la valeur exacte de \(\cos \frac{\pi }{{12}}\cos \frac{{5\pi }}{{12}}\) est \(\frac{1}{4}\)
En faisant la somme des deux relations précédentes, on obtient : \(2\cos \frac{\pi }{{12}}\cos \frac{{5\pi }}{{12}}\) \( = \frac{1}{2}\) soit \(\cos \frac{\pi }{{12}}\cos \frac{{5\pi }}{{12}} = \frac{1}{4}\) 0,5 pt
3) Résolvons dans l'intervalle \(\left[ {0,2\pi } \right[\) l'équation \(\cos \frac{\pi }{{12}}\cos x = \frac{1}{4}\) 1,5 pt
\(\cos \frac{\pi }{{12}}\cos x\) \( = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \) \(\cos \frac{\pi }{{12}}\cos x\) \( = \cos \frac{\pi }{{12}}\cos \frac{{5\pi }}{{12}}\)
\(\cos \frac{\pi }{{12}} \ne 0\) alors \(\cos x = \cos \frac{{5\pi }}{{12}}\) \( \Rightarrow x = \frac{{5\pi }}{{12}} + 2k\pi \) ou \(x = - \frac{{5\pi }}{{12}} + 2k\pi \) avec \(k \in \mathbb{Z}\)
• Pour \(x = \frac{{5\pi }}{{12}} + 2k\pi \), la solution qui est contenue dans \(\left[ {0,2\pi } \right[\)est \(x = \frac{{5\pi }}{{12}}\)
Pour \(x = - \frac{{5\pi }}{{12}} + 2k\pi \) la solution qui est contenue dans \(\left[ {0,2\pi } \right[\) est \(x = \frac{{19\pi }}{{12}}\).
L'ensemble solution est \(S = \left\{ {\frac{{5\pi }}{{12}},\frac{{19\pi }}{{12}}} \right\}\)
4) Résolvons dans l'intervalle \(\left[ {0,2\pi } \right[\) l’inéquation \(\cos x - \) \(\cos \frac{{5\pi }}{{12}} \succ 0\)
\(\cos x - \cos \frac{{5\pi }}{{12}} = 0\) dans l’intervalle \(\left[ {0,2\pi } \right[\) a pour solution \({x = \frac{{5\pi }}{{12}}}\) ou \({x = \frac{{19\pi }}{{12}}}\). Par la suite, on dresse le tableau de signes de \(\cos x - \cos \frac{{5\pi }}{{12}}\)
Au vu de ce tableau de signes, la solution de l’inéquation est \(S = \left[ {0,\frac{{5\pi }}{{12}}} \right[\)\( \cup \left] {\frac{{19\pi }}{{12}},2\pi } \right[\) 1 pt

Exercice :4

1) Déterminons le poids moyen de ces lapins 0,75 pt

ECD : effectifs cumulés décroissants
Le poids moyen des lapins est : \(\overline x = \frac{1}{{50}}\) \(\sum\nolimits_{i = 1}^4 {{n_i} \times {c_i}} = \) \(\frac{{95}}{{50}} = 1,9kg\)
2) Construction du polygone des effectifs cumulés décroissants 1, 5 pt3) Déterminons la médiane de cette série statistique 0,75 pt
Graphiquement, on voit nue la médiane Me = 2

Partie B : Évaluation des compétences (5 points)

1. Déterminons la façon dont on doit choisir le nombre d'ordinateurs à assembler mensuellement pour ne pas fonctionner à perte.
Soit \(x\) le nombre d'ordinateurs produit et vendu au cours d'un mois. On définit les charges liées à la production par : \(P(x) = 1120 + \) \(0,00007{x^2}\) et le montant de la vente des ordinateurs est : \(V(x) = 0,7x\) :
Le bénéfice obtenu est : \(B(x) = V(x) - \) \(P(x) = \) \( - 0,00007{x^2} + \) \(0,7x - 1120\)
Comme le bénéfice doit être positif, on a donc \( - 0,00007{x^2} + \) \(0,7x - 1120 \ge 0\)
• On résous l'équation : \( - 0,00007{x^2} + \) \(0,7x - 1120 = 0\)
Soit \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 8000\\{x_2} = 2000\end{array} \right.\)
On dresse un tableau de signes de \(B(x) = - 0,00007{x^2}\) \( + 0,7x - 1120 = 0\)
Image tableau de valeur
On doit donc choisir la production du nombre d'ordinateurs entre 2000 et 8000 ordinateurs Dour que l'entreprise ne tourne pas à perte
2. Déterminons le nombre d'ordinateurs que cet industriel doit produire mensuellement pour réaliser un bénéfice maximal ?
soit \(x\) le nombre d'ordinateurs produit et vendu au cours d’un mois. On a définit la fonction bénéfice par : \(B(x) = - 0,00007{x^2}\) \( + 0,7x - 1120\)
B est une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) et sa dérivée est : \(B'(x) = - 0,00014x\) \( + 0,7\)
\(B'(x) = 0\) \( \Rightarrow x = \frac{{0,7}}{{0,00014}}\) \( = 5000\). Ainsi
Si \(x\) est contenu dans l'intervalle [2000, 5000] le bénéfice est croissante et si \(x\) est contenu dans l'intervalle [5000, 8000] le bénéfice est décroissant. Le nombre d’ordinateurs qui rend le bénéfice maximal est atteint pour la vente de 5000 ordinateurs.
3. Déterminons la capacité de production journalière des composantes MOS
• Pour fabriquer la première composante, le temps mis est : \({t_1} = 3\) min = 180s ;
• Pour fabriquer la deuxième composante. le temps mis est : \({t_2}\) = 3 min 2s = (180+2 ) s ;
• Pour fabriquer la troisième composante, le temps mis est : \({t_3}\) = 3 min 4s = (180+4 ) s ;
De proche en proche, on construit une suite arithmétique (\({t_n}\)) de premier terme 180s et de raison \(r = 2\) et de terme général \({t_n} = 180 + 2(n - 1)\) avec \(n \ge 1\)
Or \({t_n} = 3h59\min \) \( = 14340s\), On a donc : \({t_n} = 180 + \) \(2(n - 1) = \) \(14340s \Rightarrow \) \(n = 7081\)
On conclut que la production journalière est de 7081 composants.