Partie A : Évaluation des ressources : 13,25 points

Exercice 1 : 4,5 points

I.1. Vérifions que ${\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2} =$ $4 - 2\sqrt 3$
En effet ${\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2} =$ $3 - 2\sqrt 3 + 1$ $= 4 - 2\sqrt 3$ 0,25 pt
2. Résolvons dans $\mathbb{R}$ : $2{x^2} +$ $\left( {1 + \sqrt 3 } \right)x +$ $\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 0$
Soit $\Delta$ son discriminant: $\Delta = {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2}$
$\Delta \succ 0$ donc cette équation admet deux solutions $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\{x_2} = - \frac{1}{2}\end{array} \right.$ 0,75 pt
3.3) Déduisons-en la résolution dans l’intervalle $\left[ {0,2\pi } \right[$ de l’équation
$\left( E \right):2{\cos ^2}x +$ $\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\cos x$ $+ \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 0$
D’après 2. $\left( E \right)$ équivaut à $\left\{ \begin{array}{l}\cos x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\\cos x = - \frac{1}{2}\end{array} \right.$ ou $x = \frac{{5\pi }}{6} + 2k\pi$ et $x = - \frac{{5\pi }}{6} + 2k\pi$ pour $osx = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ et $x = \frac{{2\pi }}{3} + 2k\pi$ et $x = - \frac{{2\pi }}{3} + 2k\pi$ pour $\cos x = - \frac{1}{2}$ avec $k$ entier relatif.
Donc les solutions dans $\left[ {0,2\pi } \right[$ de $\left( E \right)$ sont : $\frac{{5\pi }}{6}$, $\frac{{2\pi }}{3}$, $\frac{{7\pi }}{6}$ et $\frac{{4\pi }}{3}$ 1 pt
b) Représentons sur un cercle trigonométrique les points image solutions de $\left( E \right)$.
Les points K, P, O et R placés ci-contre sont les points images respectifs de $\frac{{2\pi }}{3}$, $\frac{{5\pi }}{6}$, $\frac{{7\pi }}{6}$ et $\frac{{4\pi }}{3}$ 1 pt
II.1. Montrons que $\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)$ est une base de E.
E étant un plan vectoriel et $\det \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) =$ $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\{ - 1}&1\end{array}} \right|$ $= 2 \ne 0$ donc $\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)$ est une base de E. 0,25 pt
2. Déterminons la matrice $A$ de $f$ dans la base $\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)$.
$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u = \overrightarrow i - \overline j \\\overrightarrow v = \overrightarrow i + \overrightarrow j \end{array} \right.$ equivaut à $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow i = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow u + \overline v } \right)\\\overrightarrow j = \frac{1}{2}\left( { - \overrightarrow u + \overrightarrow v } \right)\end{array} \right.$. Ainsi : $f(\overrightarrow u ) = 2\overrightarrow u + \overrightarrow v$ et $f(\overrightarrow v ) = - 2\overrightarrow u + 3\overrightarrow v$
Donc $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 2}\\1&3\end{array}} \right)$ 0,75 pt
3. Montrons que $f$ est bijectif.
$\det A = 8 \ne 0$ , donc f est bijectif.
4. Déterminons la matrice A, de ${f^{ - 1}}$ dans la base$\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)$.
${A_1} = \frac{1}{8}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\{ - 1}&2\end{array}} \right)$ 0,25 pt

Exercice 2 : 4 points

l. Déterminons l'effectif de cette classe. 0,75 pt
Désignons par A, L, et H les ensembles respectifs des élèves qui étudient l'anglais, l'allemand et l'espagnol. A l'aide du diagramme ci-dessous, l'effectif total de la classe est 20+ 1+5+3+4+6+5 = 44.
2.3) Déterminons le nombre de choix possibles. 0,5 pt
Ce nombre est $C_6^1 = 1140$
b) Déterminons le nombre de choix ne contenant que les élèves de même sexe. 0,5 pt
Ce nombre est $C_6^3 + C_{14}^3 = 384$
3a) Construisons le polygone des fréquences cumulées croissantes.

Courbe
b) Déterminants par calcul la médiane $Me$ de cette série statistique.
L’intervalle médian est [3, 5], ainsi par interpolation linéaire, on a
$\frac{{Me - 3}}{{50 - 30}} =$ $\frac{{5 - 3}}{{60 - 30}} \Rightarrow Me$ $= \frac{{13}}{3} = 4,33$ 1 pt

Exercice 3 : 4,75 points

1.a) Calculons les limites de $f$ en $+ \infty$, $- \infty$ à gauche et à droite en 1. 0,25 x4 =1 pt
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = + \infty$;
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = - \infty$;
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = - \infty$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = + \infty$
b) Déduisons-en que la courbe (C) admet une asymptote verticale (L)
comme $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = - \infty$, la droite $\left( L \right):x = 1$ est asymptote verticale à (C). 0,5 pt
La) Déterminons les réels a, b et c tels que pour tout $x \ne 1$ : $f(x) = ax + b +$ $\frac{c}{{1 - x}}$
$f(x) = ax + b$ $+ \frac{c}{{1 - x}} =$ $\frac{{ - a{x^2} + (a + b)x + b + c}}{{1 - x}}$. Ainsi, par identification $\left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = - 1\\c = - 3\end{array} \right.$ 0,5 pt
b) Montrons que $\left( T \right):y = - x - 1$ est une asymptote à (C).
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [f(x) -$ $( - x - 1)] =$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 3}}{{ - x}} \to 0$ donc $y = ( - x - 1)$ est asymptote à ( C)
c) Déterminons la position relative de (C) et (T).
Étudions le signe de $f(x) - ( - x - 1)$ $= - \frac{3}{{1 - x}} - \frac{3}{{1 - x}}$ $\succ 0$ si et seulement si $x \succ 1$.
Donc (C) est en dessous de (T) sur $\left] { - \infty ;1} \right[$ et (C) est au-dessus de (T) sur $\left] {1; + \infty } \right[$ 0,25 pt
3.a) Montrons que la dérivée $f'$ de $f'$ est définie sur $\mathbb{R} - \left\{ 1 \right\}$ par $f'(x) =$ $\frac{{ - \left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}$
Pour tout $x$ de $\mathbb{R} - \left\{ 1 \right\}$
$f'(x) =$ $\frac{{2x(1 - x) + ({x^2} + 4)}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}$ $=$ $\frac{{ - \left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}$ 0,.5 pt
b) Déduisons-en le sens des variations de $f$.
Pour tout $x$ de $\mathbb{R} - \left\{ 1 \right\}$, le signe de $f'(x)$ est celui de ${ - \left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}$. Or pour tout réel , ${{x^2} - 2x + 4 \succ 0}$. Donc pour tout $x$ de $\mathbb{R} - \left\{ 1 \right\}$,. $f'(x) \succ 0$.
Ainsi, $f$ est strictement décroissante sur $\left] { - \infty ;1} \right[$ et sur $\left] {1; + \infty } \right[$. 0,5 pt
4. Construisons dans le même repère (C), (L) et (T).

Partie B : Évaluation des compétences / 5.75 points

1. Vérifions si cette citerne pleine peut satisfaire cette famille durant un mois.
Notons $Vc$ et $Vs$ les volumes respectifs de la citerne et du seau et r le rayon du seau. Alors la hauteur h, du seau est $r + 5$. La hauteur de la citerne est ${h_c} = 8r$ et son rayon ${r_c} = 9r$.
On a $Vc = 432Vs$, équivaut à $648\pi {r^3} =$ $432\pi {r^2}\left( {r + 5} \right)$, soit à $648r =$ $432\left( {r + 5} \right)$ et donc à $r = 10cm$. Donc le rayon du seau est 0,1 m.
Le volume de la citerne est V, = 648n(0.1)3 z 2,03472. soit $Vc = 432\pi {\left( {0,1} \right)^3}$ $= 2,03472{m^3}$.
$Vc \prec 2,5$ alors cette citerne ne pourra pas satisfaire cette famille durant un mois.
2. Déterminons le montant illisible sur le carnet de la Feue mère de NDOLIKE.
Notons Sa = 500000 le montant initial déposé le 3 janvier 2005
• Le montant de l’intérêts annuel du premier placement est$\frac{{500000 \times 6}}{{100}}$ $= 30000$, soit 30 000 F.
• Le capital dans le compte au 3 janvier 2008 est S00 000 + 3 x 30000 = 590 000, soit 590.000 F.
• Désignons par a la somme retirée au «Janvier 2008. Alors le nouveau montant placé est $590000 - a$. Le montant de l'intérêt annuel du deuxième placement est : $\frac{{\left( {590000 - a} \right) \times 6}}{{100}}$ $= 35600 - \frac{{3a}}{{50}}$
• Le capital dans le compte au 5 janvier 2010 est
$590000 - a$ $+ 2\left( {35600 - \frac{{3a}}{{50}}} \right)$ $= 660800 - \frac{{28a}}{{25}}$
• on a alors $660800 - \frac{{28a}}{{25}}$ $= 504000$, donc $a = 140000$. Ainsi, le montant illisible est 140 000F
3. Aidons NDOLIKE à trouver où faire son fange.
Notons A le point représentant la cuisine et B celui représentant le magasin. M le point représentant le forage.
On a $M{A^2} = M{B^2}$, c’est-à-dire $MA = MB$. Donc M appartient à la médiatrice de [AB].
NDOLIKE doit construire le l'orage sur la partie de la médiatrice de [AB] contenue dans le plan de son terrain.