Partie A : Évaluation des ressources : 13,25 points

Exercice 1 : 4,5 points

I.1. Vérifions que \({\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2} = \) \(4 - 2\sqrt 3 \)
En effet \({\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2} = \) \(3 - 2\sqrt 3 + 1\) \( = 4 - 2\sqrt 3 \) 0,25 pt
2. Résolvons dans \(\mathbb{R}\) : \(2{x^2} + \) \(\left( {1 + \sqrt 3 } \right)x + \) \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 0\)
Soit \(\Delta \) son discriminant: \(\Delta = {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2}\)
\(\Delta \succ 0\) donc cette équation admet deux solutions \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\{x_2} = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\) 0,75 pt
3.3) Déduisons-en la résolution dans l’intervalle \(\left[ {0,2\pi } \right[\) de l’équation
\(\left( E \right):2{\cos ^2}x + \) \(\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\cos x\) \( + \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 0\)
D’après 2. \(\left( E \right)\) équivaut à \(\left\{ \begin{array}{l}\cos x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\\cos x = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\) ou \(x = \frac{{5\pi }}{6} + 2k\pi \) et \(x = - \frac{{5\pi }}{6} + 2k\pi \) pour \(osx = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) et \(x = \frac{{2\pi }}{3} + 2k\pi \) et \(x = - \frac{{2\pi }}{3} + 2k\pi \) pour \(\cos x = - \frac{1}{2}\) avec \(k\) entier relatif.
Donc les solutions dans \(\left[ {0,2\pi } \right[\) de \(\left( E \right)\) sont : \(\frac{{5\pi }}{6}\), \(\frac{{2\pi }}{3}\), \(\frac{{7\pi }}{6}\) et \(\frac{{4\pi }}{3}\) 1 pt
b) Représentons sur un cercle trigonométrique les points image solutions de \(\left( E \right)\).
Les points K, P, O et R placés ci-contre sont les points images respectifs de \(\frac{{2\pi }}{3}\), \(\frac{{5\pi }}{6}\), \(\frac{{7\pi }}{6}\) et \(\frac{{4\pi }}{3}\) 1 pt
II.1. Montrons que \(\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)\) est une base de E.
E étant un plan vectoriel et \(\det \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = \) \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\{ - 1}&1\end{array}} \right|\) \( = 2 \ne 0\) donc \(\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)\) est une base de E. 0,25 pt
2. Déterminons la matrice \(A\) de \(f\) dans la base \(\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u = \overrightarrow i - \overline j \\\overrightarrow v = \overrightarrow i + \overrightarrow j \end{array} \right.\) equivaut à \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow i = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow u + \overline v } \right)\\\overrightarrow j = \frac{1}{2}\left( { - \overrightarrow u + \overrightarrow v } \right)\end{array} \right.\). Ainsi : \(f(\overrightarrow u ) = 2\overrightarrow u + \overrightarrow v \) et \(f(\overrightarrow v ) = - 2\overrightarrow u + 3\overrightarrow v \)
Donc \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 2}\\1&3\end{array}} \right)\) 0,75 pt
3. Montrons que \(f\) est bijectif.
\(\det A = 8 \ne 0\) , donc f est bijectif.
4. Déterminons la matrice A, de \({f^{ - 1}}\) dans la base\(\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)\).
\({A_1} = \frac{1}{8}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\{ - 1}&2\end{array}} \right)\) 0,25 pt

Exercice 2 : 4 points

l. Déterminons l'effectif de cette classe. 0,75 pt
Désignons par A, L, et H les ensembles respectifs des élèves qui étudient l'anglais, l'allemand et l'espagnol. A l'aide du diagramme ci-dessous, l'effectif total de la classe est 20+ 1+5+3+4+6+5 = 44.
2.3) Déterminons le nombre de choix possibles. 0,5 pt
Ce nombre est \(C_6^1 = 1140\)
b) Déterminons le nombre de choix ne contenant que les élèves de même sexe. 0,5 pt
Ce nombre est \(C_6^3 + C_{14}^3 = 384\)
3a) Construisons le polygone des fréquences cumulées croissantes.

Courbe
b) Déterminants par calcul la médiane \(Me\) de cette série statistique.
L’intervalle médian est [3, 5], ainsi par interpolation linéaire, on a
\(\frac{{Me - 3}}{{50 - 30}} = \) \(\frac{{5 - 3}}{{60 - 30}} \Rightarrow Me\) \( = \frac{{13}}{3} = 4,33\) 1 pt

Exercice 3 : 4,75 points

1.a) Calculons les limites de \(f\) en \( + \infty \), \( - \infty \) à gauche et à droite en 1. 0,25 x4 =1 pt
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = + \infty \);
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = - \infty \);
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = + \infty \)
b) Déduisons-en que la courbe (C) admet une asymptote verticale (L)
comme \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = - \infty \), la droite \(\left( L \right):x = 1\) est asymptote verticale à (C). 0,5 pt
La) Déterminons les réels a, b et c tels que pour tout \(x \ne 1\) : \(f(x) = ax + b + \) \(\frac{c}{{1 - x}}\)
\(f(x) = ax + b\) \( + \frac{c}{{1 - x}} = \) \(\frac{{ - a{x^2} + (a + b)x + b + c}}{{1 - x}}\). Ainsi, par identification \(\left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = - 1\\c = - 3\end{array} \right.\) 0,5 pt
b) Montrons que \(\left( T \right):y = - x - 1\) est une asymptote à (C).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [f(x) - \) \(( - x - 1)] = \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 3}}{{ - x}} \to 0\) donc \(y = ( - x - 1)\) est asymptote à ( C)
c) Déterminons la position relative de (C) et (T).
Étudions le signe de \(f(x) - ( - x - 1)\) \( = - \frac{3}{{1 - x}} - \frac{3}{{1 - x}}\) \( \succ 0\) si et seulement si \(x \succ 1\).
Donc (C) est en dessous de (T) sur \(\left] { - \infty ;1} \right[\) et (C) est au-dessus de (T) sur \(\left] {1; + \infty } \right[\) 0,25 pt
3.a) Montrons que la dérivée \(f'\) de \(f'\) est définie sur \(\mathbb{R} - \left\{ 1 \right\}\) par \(f'(x) = \) \(\frac{{ - \left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\)
Pour tout \(x\) de \(\mathbb{R} - \left\{ 1 \right\}\)
\(f'(x) = \) \(\frac{{2x(1 - x) + ({x^2} + 4)}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\) \( = \) \(\frac{{ - \left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\) 0,.5 pt
b) Déduisons-en le sens des variations de \(f\).
Pour tout \(x\) de \(\mathbb{R} - \left\{ 1 \right\}\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \({ - \left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}\). Or pour tout réel , \({{x^2} - 2x + 4 \succ 0}\). Donc pour tout \(x\) de \(\mathbb{R} - \left\{ 1 \right\}\),. \(f'(x) \succ 0\).
Ainsi, \(f\) est strictement décroissante sur \(\left] { - \infty ;1} \right[\) et sur \(\left] {1; + \infty } \right[\). 0,5 pt
4. Construisons dans le même repère (C), (L) et (T).

Partie B : Évaluation des compétences / 5.75 points

1. Vérifions si cette citerne pleine peut satisfaire cette famille durant un mois.
Notons \(Vc\) et \(Vs\) les volumes respectifs de la citerne et du seau et r le rayon du seau. Alors la hauteur h, du seau est \(r + 5\). La hauteur de la citerne est \({h_c} = 8r\) et son rayon \({r_c} = 9r\).
On a \(Vc = 432Vs\), équivaut à \(648\pi {r^3} = \) \(432\pi {r^2}\left( {r + 5} \right)\), soit à \(648r = \) \(432\left( {r + 5} \right)\) et donc à \(r = 10cm\). Donc le rayon du seau est 0,1 m.
Le volume de la citerne est V, = 648n(0.1)3 z 2,03472. soit \(Vc = 432\pi {\left( {0,1} \right)^3}\) \( = 2,03472{m^3}\).
\(Vc \prec 2,5\) alors cette citerne ne pourra pas satisfaire cette famille durant un mois.
2. Déterminons le montant illisible sur le carnet de la Feue mère de NDOLIKE.
Notons Sa = 500000 le montant initial déposé le 3 janvier 2005
• Le montant de l’intérêts annuel du premier placement est\(\frac{{500000 \times 6}}{{100}}\) \( = 30000\), soit 30 000 F.
• Le capital dans le compte au 3 janvier 2008 est S00 000 + 3 x 30000 = 590 000, soit 590.000 F.
• Désignons par a la somme retirée au «Janvier 2008. Alors le nouveau montant placé est \(590000 - a\). Le montant de l'intérêt annuel du deuxième placement est : \(\frac{{\left( {590000 - a} \right) \times 6}}{{100}}\) \( = 35600 - \frac{{3a}}{{50}}\)
• Le capital dans le compte au 5 janvier 2010 est
\(590000 - a\) \( + 2\left( {35600 - \frac{{3a}}{{50}}} \right)\) \( = 660800 - \frac{{28a}}{{25}}\)
• on a alors \(660800 - \frac{{28a}}{{25}}\) \( = 504000\), donc \(a = 140000\). Ainsi, le montant illisible est 140 000F
3. Aidons NDOLIKE à trouver où faire son fange.
Notons A le point représentant la cuisine et B celui représentant le magasin. M le point représentant le forage.
On a \(M{A^2} = M{B^2}\), c’est-à-dire \(MA = MB\). Donc M appartient à la médiatrice de [AB].
NDOLIKE doit construire le l'orage sur la partie de la médiatrice de [AB] contenue dans le plan de son terrain.