Partie A : Évaluation des ressources (15 points)

Exercice 1 : (4 points)

1.a) Déterminons les solutions dans \(\mathbb{R}\) de l'équation : \({x^2} - 50x + \) \(600 = 0\)
• Le discriminant de ce polynôme est : \(\Delta = {\left( { - 50} \right)^2} - \) \(4\left( 1 \right)\left( {600} \right) = {10^2}\) ;
• Les solutions de cette équation sont : \({x_1} = \frac{{50 - 10}}{2} = 20\) et \({x_2} = \frac{{50 + 10}}{2} = 30\) 1 pt
1.b) Déterminons l'ensemble solution dans \(\mathbb{R}\) de l’inéquation \({x^2} - 50x + \) \(600 \ge 0\) 1 pt
• Le tableau de signe du polynôme \({x^2} - 50x + 600\) est :
• L'ensemble solution de cette inéquation est : \(\left] { - \infty ;20} \right] \cup \) \(\left[ {30; + \infty } \right[\)
2. Répondons par vrai ou faux. 1 pt
Faux.
2. Déterminons les dimensions du terrain rectangulaire. 1 pt
Soient \(L\) et \(l\) respectivement la longueur et la largeur de ce terrain.
On a : \(2\left( {L + l} \right) = 100\) et \(L \times l = 600\). Or \(L + l = 50\) équivaut à \(l = 50 - L\) donc \(L \times l = 600\) permet d'écrire l'équation \({L^2} - 50L + \) \(600 = 0\)
D’après la question 1.a), cette équation a pour solutions \({L_1} = 20\) et \({L_2} = 30\)
Puisque \(L \succ l\) et \(l = 50 - L\) donc \(L = 30\) et \(l = 20\).

Exercice 2 : (5.5 points)

1. Calculons l'âge moyen des employés de cette entreprise.
L'âge moyen est : \(\frac{{\sum {{n_i}{x_i}} }}{{60}} = \) \(\frac{{2500}}{{60}} = 41,66\) ans 1 pt
2. Reproduisons ce tableau statistique puis complétons la ligne des effectifs cumulés croissants. 1 pt

3.3) Construisons le polygone des effectifs cumulés croissants de cette série statistique. 1.5 pt
3.b) Lisons et marquons sur le graphique, la médiane de cette série statistique. 0.5 pt
La médiane de cette série statistique est 42, 5.
La) Déterminons le nombre de façons différentes pour les employés de cette entreprise de prendre place dans le bus au moment du départ. 0,75 pt
Ce nombre est égal à : \(60!\) ou \(A_{60}^{60}\).
4.b) Déterminons le nombre de groupes d’encadreurs différents que l'on peut choisir.
Ce nombre est égal à : \(C_{12}^3 = \frac{{12!}}{{3!\left( {12 - 3} \right)!}}\) \( = 220\)

Exercice 3 : (5,5 points)

1.a) Par lecture graphique, déterminons l'ensemble de définition de la fonction \(f\).
L'ensemble de définition de la fonction \(f\) est : \(\left[ { - 4;1} \right[ \cup \left[ {1;4} \right[\)
1.b) Par lecture graphique, déterminons \(f(0)\) et \(f(2)\).
• \(f(0) = 2\)
• \(f(2) = 0\)
1.c) Par lecture graphique, déterminons l'ensemble solution de l’inéquation \(f(x) \ge 0\).
\(f(x) \ge 0\) équivaut à \(x \in \left[ { - 4;1} \right[ \cup \left[ {2;4} \right[\). L'ensemble solution cherché est \(\left[ { - 4;1} \right[ \cup \left[ {2;4} \right[\). 0,5 pt
1.d) Par lecture graphique, déterminons les limites de \(f\) à gauche et à droite en 1.
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = + \infty \)
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = - \infty \)
1.e) Par lecture graphique, déterminons le sens de variation de \(f\) sur \(\left[ { - 4;1} \right[\) et sur \(\left] {1;4} \right]\)
\(f\) est croissante sur \(\left[ { - 4;1} \right[\) et sur \(\left] {1;4} \right]\). 0,5 pt
2.a) En utilisant la question 1.b), montrons que \(a = 1\) et \(b = - 2\).
Pour \(x \ne 1\), \(f(x) = \frac{{ax + b}}{{x - 1}}\) signifie \(f(0) = 2 \Rightarrow \) \(\frac{{a \times 0 + b}}{{0 - 1}} = 2\) soit \(b = - 2\) 0,5 pt
\(f(2) = 0 \Rightarrow \) \(\frac{{a \times 2 + b}}{{2 - 1}} = 0\) \( \Rightarrow a = 1\) 0,5 pt
2.b) Déterminons une équation de la tangente à \(\left( {Cf} \right)\) au point d'abscisse 2.
Pour tout \(x \ne 1\), \(f(x) = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}\) et \(f'(x) = \) \(\frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\1&{ - 1}\end{array}} \right|}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) \( = \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\); donc \(\left\{ \begin{array}{l}f(2) = 0\\f'(2) = 1\end{array} \right.\).
Ainsi, une équation de la tangente à \(\left( {Cf} \right)\) au point d'abscisse 2 est :
\(y = f'(2)\) \((x - 2) + f(2)\) c’est-à-dire \(y = x - 2\). 1 pt
3) Reproduisons la courbe \(\left( {Cf} \right)\) puis construisons dans le même repère, la courbe \(\left( {Cg} \right)\) de la fonction \(g:x \mapsto \left| {f(x)} \right|\). 1 pt

Partie B : Évaluation des compétences ( 5 points)

1. Déterminons le nombre d'enfants propres de M. BALLA.
Soit \(n\) le nombre d'enfants propres de M. BALLA.
La part de chacun des enfants propres de M. BALLA avant l'arrivée des deux neveux est égale à : \(\frac{{6000}}{n}\)
La part de chacun des enfants y compris les deux neveux est égale à : \(\frac{{6000}}{{n + 2}}\); d'où l'équation \(\frac{{6000}}{{n + 2}} = \frac{{6000}}{n} - 500\); ce qui équivaut à ; \(\left( {n + 2} \right)\) \(\left( {6000 - 500n} \right)\) \( = 6000n\); c’est-à-dire \({n^2} + 2n - 24 = 0\).
Avec pour discriminant de \(\Delta = {2^2} - 4.1\) \( \times \left( { - 24} \right)\) \( = {10^2}\) et pour solution : \({n_1} = \frac{{ - 2 - 10}}{2} = - 6\) et \({n_2} = \frac{{ - 2 + 10}}{2} = 4\) donc le nombre d'enfants propres de M. BALLA est égal à 4.
3. Déterminons les dimensions de la chambre que M. BALLA veut aménager pour ses deux neveux.
Soient x la longueur de la chambre rectangulaire et y sa largeur telle que \(x \succ y\).
On a \(xy = 15,75\) et \(2\left( {x + y} \right) = 16\); d’où le système \(\left\{ \begin{array}{l}xy = 15,75\\x + y = 8\end{array} \right.\)
Par substitution des deux équations, nous avons \({x^2} - 8x + \) \(15,75 = 0\) de solution \({x_1} = \frac{{8 - 1}}{2} = 3,5\) et \({x_2} = \frac{{8 + 1}}{2} = 4,5\)
Or \(x \succ y\); donc \(x = 4,5\) et \(y = 8 - 4,5 = 3,5\)
Donc la chambre que M. BALLA veut aménager pour ses neveux la de longueur égale à
4, 5 mètres et de largeur égale à 3, 5 mètres.
3. Déterminons le prix d'un sac de riz et le prix d'un bidon d'huile achetés par M. BALLA.
Soient \(x\) le prix d'un sac de riz et \(x\) le prix d’un bidon d'huile ;
on a \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y = 38000\\x + 2y = 25500\end{array} \right.\)
La résolution de ce système permet de trouver \(\left\{ \begin{array}{l}x = 12500\\y = 6500\end{array} \right.\)
Donc le prix d'un sac de riz est égal à 12 500 F CFA et le prix d'un bidon d'huile est égal à 6 500 F CFA.