Cette épreuve étalée sur deux pages est constituée de deux parties Indépendantes.

PARTIE A : Évaluation des ressources (15 points)

Exercice 1 : (5 points)

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left( {O;\overrightarrow {{e_1}} ,\overrightarrow {{e_2}} } \right)$
On considère les points A, B, F et G d’affixes respectives :
${Z_A} = 1 + i\sqrt 3$
${Z_B} = - 1 - i\sqrt 3$
${Z_F} = 4$
${Z_G} = - 4$
1) Résoudre dans $C$ l'équation ${z^2} + 2 -$ $2i\sqrt 3 = 0$ (0,75 pt)
2) Soit $s$ la similitude directe d'expression complexe $z' = \left( {1 - i\sqrt 3 } \right)z$
a) Donner les éléments caractéristiques de $s$. (0,75pt)
b) Quelles sont les images par $s$ des points A et B ? (0,5pt)
3) Soit $\left( \varepsilon \right)$ l’ellipse de foyers A et B et d’excentricité $e = \frac{1}{2}$.
a) Déterminer une équation de l'image $s$ de $\left( {\varepsilon '} \right)$ de $\left( {\varepsilon } \right)$ par la similitude $s$. (1 pt)
b) Construire $\left( {\varepsilon '} \right)$ puis $\left( {\varepsilon } \right)$ dans le même repère. (1 pt)
4) Aicha a choisi au hasard l'un après l'autre, deux points distincts parmi les points O, A. B. F el G comme ceux par lesquels passe l'axe focal l’ellipse $\left( {\varepsilon '} \right)$.
Quelle est la probabilité qu'elle ail choisi deux points de l'axe focal de $\left( {\varepsilon '} \right)$ ? (1 pt)

Exercice 2 : (5 points)

Soit $\left( {\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k } \right)$ une base d'un espace vectoriel $E$.
Soit $f$ un endomorphisme de $E$.
1) Pour $k$ appartenant à $R$. on considère l'ensemble ${E_k}$ des vecteurs $\overrightarrow u$ de $E$ tels que $f(\overrightarrow u ) = k\overrightarrow u$
a) Démontrer que ${E_k}$, est un sous-espace vectoriel de $E$. (1pt)
b) On suppose que $f$ vérifie l'égalité $f^\circ f = 2f$.
Démontrer que $\overrightarrow u \in {\mathop{\rm Im}\nolimits} f$ si et seulement si $\overrightarrow u \in {E_2}$ (1 pt)
2) On suppose ici qu'on a:
• $f(\overrightarrow i + \overrightarrow j ) =$ $2\overrightarrow i + 2\overrightarrow j$
• $f(\overrightarrow i - \overrightarrow j ) =$ $2\overrightarrow i - 2\overrightarrow j$
• $f(\overrightarrow i - \overrightarrow j + \overrightarrow k )$ $= \overrightarrow 0$
a) Démontrer que $f(\overrightarrow i ) = 2\overrightarrow i$, $f(\overrightarrow j ) = 2\overrightarrow j$ et $f(\overrightarrow k ) =$ $- 2\overrightarrow i + 2\overrightarrow j$ (0,75 pt)
b) Donner la matrice M de $f$ dans la base $\left( {\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k } \right)$ (0,5 pt)
c) Démontrer que $f^\circ f = 2f$ (0,5 pt)
d) Déterminer par une de ses bases, le noyau $Kerf$ de $f$. (0,5 pt)
e) Déterminer l'image ${\mathop{\rm Im}\nolimits} f$de $f$. On précisera une de ses bases. (0,75 pt)

Exercice 3 : (5 points)

$f$ est une fonction définie sur $\left[ {0;2\pi } \right]$ par $f(x) = {e^{ - x}}\cos x$
$\left( {{C_f}} \right)$ est la courbe de I dans un repère orthogonal ou on abscisse. On a 2 cm pour unité et en ordonnée 4 cm pour unité.
1) Démontrer quo $f''(x) + 2f'(x)$ $+ 2f(x) = 0$. (0,5 pt)
2) Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau des variations. (1,25pt)
3) a) Démontrer qu'on a $- {e^{ - x}} \le f(x)$ $\le {e^{ - x}}$. (0,5 pt)
b) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $\left( {{C_f}} \right)$ avec les courbes d'équations $y = {e^{ - x}}$ et $y = - {e^{ - x}}$ (0,75 pt)
4) Sur $\left[ {0;2\pi } \right]$ tracer dans le même repère, les courbes d'équations $y = {e^{ - x}}$ et $y = - {e^{ - x}}$ puis la courbe $\left( {{C_f}} \right)$.
5) Calculer l'aire de la partie du plan délimitée par $\left( {{C_f}} \right)$ et la courbe d'équation $y = {e^{ - x}}$ sur $\left[ {0;2\pi } \right]$. On pourra utiliser la question 1). (1pt)

PARTIE B : Évaluation des compétences (5 points)

Situation :
Trois gisements de gaz A. B et C présentant chacun 100 milliards de m³ de quantité, ont été découverts dans un pays. L'inauguration a eu lieu à une certaine année (année O) prise comme origine des temps $t$ (en années).
L'exploitation du gaz des gisements A et B avait commencé à la date $t = 0$ et celle du gisement $C$ légèrement avant. Seulement à la date $t = 1$, la quantité totale du gaz extraite de chacun de gisements A et C était de 5,01 milliards de m³.
• Pour le gisement A et à partir de la 2e année, la quantité de gaz extraite chaque année augmente de 0,75 milliards de m³ par rapport à celle de l'année précédente.
• Pour les gisements B et C. les ingénieurs pétrochimistes savent que si $q(t)$ est la quantité totale (en milliards de m³) de gaz extraite de chacun de ces gisements à la date $t$, alors le taux d'extraction ou de consommation du gaz du gisement à cette date $t$ est $q'(t)$ (milliards de m³ par an).
♦ Au niveau du gisement B, ce taux est $\left( {\frac{1}{{2t + 1}} + 0,02t} \right)$ milliard de m³ par an.
♦  Au niveau du gisement C. ces taux (aux dates $t$) sont proportionnels aux quantités de gaz extraites à ces dates. A la date $t=1$ ce taux était 5,01 milliards de m³ par an.

Tâches :
1) En combien d'années le gisement A s’épuisera-t-il ? (1,5 pt)
2) Combien d'années d'extraction suffiront à ce pays pour épuiser le contenu du gisement B ? (1,5 pt)
3) Après l'inauguration, combien d'années faudra-t-il à ce pays pour vider le gisement C de son contenu ? ( 1,5 pt)

Présentation : (0,5 pt)