Partie A: Évaluation des ressources / (15,25 points)

Exercice 1 : 4 points

1. Calculons la moyenne de cette série statistique. 0,75 pt
$\overline x = \frac{1}{N}\sum {{n_i}} .{c_i}$ ainsi $\overline x = \frac{{440}}{{20}} = 22$
2. Construisons le polygone des effectifs cumulés croissants de cette série statistique. 1,25 pt
3. a) Déterminons le nombre de choix possibles. 1 pt
Ce nombre est $C_6^2 = 15$. Soit 15 choix possibles. 1 pt
3. b) Déterminons le nombre de choix possibles ne contenant que des garçons. 1 pt
Ce nombre est $C_4^2 = 6$. Soit 6 choix possibles.

Exercice 2 : 5,5 points

1. Déterminons les valeurs de $a$ et $b$ pour que la courbe de $g$ passe par $A(-3; 0)$ et $B(7; 2)$. 1 pt
• $A(-3; 0)$ appartient à la courbe de $g$ signifie que $g( - 3) = 0$. Soit $a = 3$.
• $B(7; 2)$ appartient à la courbe de $g$ signifie que $g(7) = 2$. Soit $b = - 2$.
2. a) Déterminons l'ensemble de définition $E$ de la fonction $f$. 0,5 pt
Soit x e $x \in \left[ { - 3,7} \right]$; $f(x)$ existe si et seulement si $x \ne 2$. 0,5 pt
Donc $E = \left[ { - 3;2} \right[ \cup \left] {2;7} \right]$
2. b) Calculons $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x)$ et $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x)$ et déduisons-en que la droite (D) d'équation $x = 2$ est asymptote à la courbe de $f$. 0,75 pt
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = - \infty$ et f $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = + \infty$; donc la droite $(D)$ d'équation $x = 2$ est asymptote à la courbe de $f$.
2. c) Justifions que sur $E$, la dérivée $f’$ de $f$ est définie par $f'(x) = - \frac{5}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$. 0,5 pt
Pour tout $x \in E$, $f'(x) = 0 + 5 \times$ $\left( { - \frac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}} \right) =$ $- \frac{5}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$
2. d) Déduisons-en le sens de variation de $f$.
Pour tout $x \in E$, $f'(x) \prec 0$; donc la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\left[ { - 3;2} \right[$ et sur $\left] {2;7} \right]$. 0,5 pt
2. e) Dressons le Tableau de variations de $f$. 0,5 pt
2.f) Construisons la courbe $(C)$ de $f$ et la droite $(D)$ dans un repère orthonormé. 1,5 pt

Exercice 3 : 3,75 points

1. Résolvons dans $R$ l’équation $(E)$: ${x^2} - 41x +$ $408 = 0$ et l’inéquation $(l)$ : ${x^2} - 41x +$ $408 \le 408$
$(E)$ : $(E)$: ${x^2} - 41x +$ $408 = 0$, $\Delta = 49 = {7^2}$. On a $\left\{ \begin{array}{l} x = 24\\ x = 17 \end{array} \right.$ 1,5 pt
${x^2} - 41x +$ $408 \le 408$ signifie que ${x^2} - 41x \le 0 \Leftrightarrow$ $x(x - 41) \le 0$.
Ains'i1’cnsemble solution de l’inéquation $(I)$: ${x^2} - 41x +$ $408 \le 408$ est ${S_R} = \left[ {0,41} \right]$.
2. a) Justifions que les dimensions de ce terrain sont les solutions de l’équation $(E)$.
Désignons par $L$ la longueur et $l$ la largeur de ce terrain. On a : $2(L + l) = 82$ et $L \times l = 408$.
On obtient $\left\{ \begin{array}{l} (L + l) = 41\\ L \times l = 408 \end{array} \right.$; d'où $L$ et $l$ sont les solutions de l'équation ${x^2} - 41x +$ $408 = 0$. 1,25 pt
2.b Déduisons-en la longueur $L$ et la largeur $l$ de ce terrain.
Comme $L$ et $l$ sont les solutions de l'équation ${x^2} - 41x +$ $408 = 0$, alors d'après 1.a) la longueur est 24 m et la largeur 17 m. 1 pt

Partie B. : Évaluation des compétences (6,75 points)

Tâche 1 : Vérifions si la somme dont dispose FRED peut lui permettre d’acheter la bague.
• Soit $x%$ le taux de réduction dans ce magasin. Déterminons $x$.
Le prix du sac après la première baisse en fonction de $x$ est : $11000 - 110x$.
On a $11000 - 110x =$ $10120$; d’où $x = 8$.
• Déterminons le prix de la bague.
Ce Prix après la 1ere baisse est : $10000 - \frac{{10000 \times 8}}{{100}}$ $= 9200$ . Soit 9 200 F
Ce Prix après la 2ieme baisse est : $9200 - \frac{{9200 \times 8}}{{100}}$ $= 8464$ . soit 8464 F.
• Puisque $8464 \prec 8500$ alors Fred peut acheter la bague.

Tâche 2 : Vérifions si le nombre de places réservées aux membres du groupe GES est suffisant.
• Désignons par x le nombre de membres du groupe GES.
On a : $\frac{{154000}}{{x - 2}} =$ $\frac{{154000}}{x} + 8800$. Ainsi $x$ vérifie l'équation ${x^2} - 2x - 35 = 0$.
• Déterminons le nombre x de membres de ce groupe.
En résolvant l'équation ${x^2} - 2x - 35 = 0$.; on obtient $x = - 5$ ou $x = 7$.
Comme $x \succ 0$ alors $x = 7$. Soit ce groupe a 7 membres.
• Puisque $6 \prec 7$ alors le nombre de places réservées aux membres du groupe GES ne sera pas suffisant.

Tâche 3 :Vérifions si la somme réservée parles 6 frères de Fred sera suffisante pour payer toutes les photos prévues.
• Déterminons le nombre de possibilités de former une équipe de trois frères :
Ce nombre est : $C_6^3 = 20$. Soit 20 équipes.
• Déterminons le coût de ces photos.
Ce coût est: $20 \times 425 = 8500$. Soit 8500 F
• Puisque $8000 \prec 8500$ alors, la somme réservée par les 6 frères de Fred ne sera pas suffisante pour payer toutes les photos prévues.