PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES : 15 points

Exercice 1 : 5 points

A/ On considère l’équation (?): \(2{\cos ^2}x + \) \(1 + 2\sqrt 3 )\cos x + \sqrt 3 = 0\).
1) Montrer que \({(1 - 2\sqrt 3 )^2} = 13 - 4\sqrt 3 \). 0,5pt
2) Résoudre dans ℝ l’équation : \(2x + (1 + 2\sqrt 3 )x\) \( + \sqrt 3 = 0\). 1pt
3) En déduire la résolution dans \(\left[ {0;2\pi } \right[\) de l’équation (?) . 1pt
B/ On considère la suite numérique \(\left( {Un} \right)\) définie par : \(\left\{ \begin{array}{l} Uo = - 1\\ {U_{n + 1}} = \frac{1}{2}{U_n} + 1 \end{array} \right.\).
1) Calculer \({U_1}\) et \({U_2}\). 0,5pt
2) On pose \({V_n} = {U_n} - 2\).
a) Montrer que \(\left( {Vn} \right)\) est une suite géométrique de raison \(\frac{1}{2}\) et de premier terme à déterminer. 0,75pt
b) Montrer que \({V_n} = \frac{{ - 3}}{{{2^n}}}\), puis exprimer \(\left( {Un} \right)\) en fonction de \(n\). 0,75pt
c) Calculer la limite de la suite \(\left( {Un} \right)\). 0,5pt

Exercice 2 : 5 points

On considère la fonction numérique d’une variable réelle \(?\) définie par \(g(x) = \frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 2}}\) et on note (?) sa courbe représentative dans un repère \(\left( {O;\overrightarrow i ,\overrightarrow j } \right)\) orthonormé.
1) Quel est l’ensemble de définition \(?_f\) de la fonction \(?\)? 0,5pt
2) Calculer les limites de la fonction \( ?\) en \( - \infty \), \( + \infty \), \({{2^ + }}\) et \({{2^ - }}\). 1pt
3) Montrer que; \(\forall x \in Df\) , \(g'(x) = \frac{{{x^2} - 4x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\) 0,75pt
4) Dresser le tableau des variations de la fonction \(?\). 1pt
5) Déterminer les nombres réels a, b et c tels que \(\forall x \in Df\), \(g(x) = ax + b + \frac{c}{{x - 2}}\) 0,75pt
6) Montrer que la droite d’équation \(? = ? – 1\) est une asymptote à (?) . 0,5pt
7) Montrer que le point \(?(2; 1)\) est un centre de symétrie de la courbe (?). 0,5pt

Exercice 3 : 5 points

1) Un commerçant a réparti ses tissus selon les prix en milliers de francs et a obtenu le tableau suivant :

a) Recopier et compléter le tableau ci-dessus. 1pt
b) Calculer le prix moyen des tissus. 0,75pt
c) Construire le polygone des effectifs cumulés décroissants. 0,75pt
d) Déterminer par interpolation linéaire la médiane de cette série. 0,5pt
2) Un sac contient 3 boules vertes, 2 rouges et 5 jaunes toutes indiscernables au toucher. On tire successivement et sans remise 3 boules du sac.
a) Déterminer le nombre de tirages possibles. 0,5pt
b) Déterminer le nombre de tirages contenant au moins deux boules rouges. 0,5pt
3) Construire un graphe ABCDE tel que degréA = degréC = 3 ; degréD = degré E = 2.
Ce graphe est-il complet ? Déterminer le nombre d’arrêtes de ce graphe. 1pt

PARTIE B : Évaluation des compétences : 5 points

Une usine fabrique des machines agricoles. Elle peut produire en un mois entre 0 et 40 machines. Le bénéfice réalisé par cette usine, exprimé en dizaine de milliers de francs, est modélisé par la fonction \(? \) définie pour tout nombre réel \(x \in \left[ {0;40} \right]\) par \(f(x) = - 30{x^2} + \) \(1200x + 4000\). Cette usine souhaite construire un puits et l’ingénieur en charge de la construction indique que l’espace aménagé à cet effet a la forme d’un rectangle dont les sommets sont les points images des solutions dans \(\left] { - \pi ;\pi } \right]\) de l’équation (?): \(1 - 4{\cos ^2}x = 0\) (on prendra 10 ? comme unité ). Paul, ouvrier dans cette entreprise souhaite acheter un sac de riz à la fin du mois dont le prix était de 30000F, mais il oublie que ce prix a subi deux augmentations successives du même taux. Son frère qui a acheté un bidon d’huile dans ce magasin a constaté que le nouveau prix après les deux augmentations successives de ce taux est passé de 7500 F à 8112 F
Tâches
1) Déterminer le bénéfice maximal réalisé en un mois dans cette usine. 1,5pt
2) Quel montant doit prévoir Paul pour acheter un sac de riz dans ce magasin ? 1,5pt
3) Calculer l’aire de l’espace réservé pour l’aménagement du puits. 1,5pt

Présentation : 0,5pt