PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES (15 points)

Exercice 1 : 3 points

1. a) Montrer que pour tout réel \(?\) de \(\left] {0,\frac{\pi }{2}} \right[\) , \(\left( {\tan x} \right)\left( {\sin 2x} \right)\) \( = 1 - \cos 2x\) 0,5 pt
b) Déduire les valeurs exactes de \({\tan \frac{\pi }{8}}\) et \({\tan \frac{\pi }{12}}\) . 0,5 pt
2. a) Montrer que pour tout réel \( ?\) , \(\sin 3x = - 4{\sin ^3}x\) \( + 3\sin x\) 0,75 pt
b) Déduire que pour tout réel \(? \), \(4\sin x\sin \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\) \(\sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) = \sin 3x\) 0,75 pt
c) Déduire la valeur exacte de \(\sin \frac{\pi }{9}\sin \frac{{2\pi }}{9}\sin \frac{{4\pi }}{9}\) 0,5 pt

Exercice 2 : 3,5 points

ABC est un triangle. I et D sont les points vérifiant : \(\overrightarrow {AI} = \frac{1}{5}\overrightarrow {AB} \) et \(\overrightarrow {CD} = \frac{5}{3}\overrightarrow {CI} \)
Les droites (AD) et (CB) se coupent en J.
1. Faire une figure. 0,5 pt
2. Montrer que le point D est le barycentre du système : \(\{ (A;4)(B;1)(C; - 2)\} \) 0,75 pt
3. Soit K le barycentre des points pondérés : \((B;1)\) et \((C; - 2)\).
Montrer que les points A, D et K sont alignés et que J et K sont confondus. 1 pt
4. En déduire que C est le milieu du segment \(\left[ {BJ} \right]\). 0,5 pt
5. On suppose que \(?? = 4\) . Déterminer l’ensemble des points \(?\) du plan tels que \(B{M^2} - J{M^2} = 12\) 0,75 pt

Exercice 3 : 4 points

Les notes en Mathématiques de 50 élèves obtenues après la quatrième évaluation ont été regroupées dans le tableau suivant :
La moyenne des notes est égale à 9,28.
1. Calculer \(x\) et \(y\). 1 pt
Dans toute la suite, on prendra \(x = 20\) et \(y = 7\).
2. a) Compléter le tableau par la ligne des effectifs cumulés croissants. 0,75 pt
b) Construire le polygone des effectifs cumulés croissants. 0,75 pt
3. Calculer la médiane de cette série statistique par interpolation linéaire. 0,75 pt
4. Estimer le nombre d’élèves qui ont une note supérieure ou égale à 10. 0,75 pt

Exercice 4 : 4,5 points

Soit \(?\) la fonction définie sur ℝ de tableau de variation ci-dessous.
1. Déterminer l’ensemble de définition \(Dg\) de la fonction \(?\) . 0,25 pt
2. Donner le sens de variation de \(?\) sur chacun des 4 intervalles du tableau ci-dessus. 0,5 pt
3. On pose pour tout réel \(? \) distinct de 1, \(g(x) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x - 1}}\) où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des réels.
Déterminer les nombres réels \(a\), \(b\) et \(c\). 1,5 pt
4. Dans la suite, on admet que Montrer que pour tout réel \(?\) distinct de 1 , \(g(x) = x - 2 + \frac{1}{{x - 1}}\)
a) Montrer que la courbe de la fonction g admet deux asymptotes dont on déterminera les équations. 0,75 pt
b) Montrer que le point \(E (1 ;-1)\) est centre de symétrie de la courbe de g. 0,5 pt
c) Construire la courbe de la fonction g et ses asymptotes. 1 pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (5 points)

Situation:
Le conseil d’administration d’une entreprise se réunit pour voter le budget nécessaire pour les travaux d’aménagement d’une piscine et d’un espace de détente.
Les personnes présentes à ce conseil se serrent la main, et il y’a en tout 136 poignées de mains.
A la fin du conseil, chaque membre présent reçoit 12 000 FCFA pour le transport retour.
La piscine à aménager aura la forme du polygone dont les sommets sont les images des solutions dans \(\left] { - \pi ;\pi } \right]\) de l’équation \(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) sur le cercle trigonométrique. Unités : 5 m.
Le coût des travaux sera de 47 000 FCFA le m².
L’espace de détente est un ensemble de points dont les extrémités M vérifient la relation \(M{A^2} + M{B^2} = \frac{{125}}{2}\) avec \(AB=5\) m. le coût des travaux sera de 22 750 FCFA le m².

TACHES :
1. Quel est le budget nécessaire pour le transport retour du personnel présent à ce conseil ?1,5 pt
2. Quel est le budget nécessaire pour l’aménagement de la piscine ? 1,5 pt
3. Quel est le budget nécessaire pour l’aménagement de l’espace de détente ? 1,5 pt
Présentation 0,5 pt