Problème Mathématique au baccalauréat D et TI 2016

Problème: (11 points)
On considère la fonction numérique f définie par: \(f(x) = (x - 2){e^x} + x\);
(Cf) désigne la courbe représentative de f dans un repère orthonormé du plan.
1 a Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle : \(y'' - 2y' + y = 0\)          (0,75 pt)
b. Justifier que f est une solution de l'équation différentielle : \(y'' - 2y' + y = x - 2\)
2. Soit g la fonction numérique définie par : \(g(x) = (x - 1){e^x} + 1\)
a. Étudier le sens de variation de g sur \(\mathbb{R}\)       (1 pt)
b. En déduire que g est positive sur \(\mathbb{R}\)
3.a Calculer les limites de f en \( - \infty \) et en \( + \infty \)         (0,5 pt)
b- Montrer que la droite \((\Delta )\): y = x est asymptote à (C_f,) en \( - \infty \).
Etudier la branche infinie à (C_f ) en \( + \infty \)           (1,25 pt)
Etudier en fonction de x la position de ( C_f ) et de \((\Delta )\):
4.a Soit f ' la dérivée de f ; vérifier que pour tout réel x on a \(f'(x) = g(x)\) ;
en déduire le sens de variation de f sur \(\mathbb{R}\)
b. Justifier que la fonction f établit une bijection de \(\mathbb{R}\) vers un intervalle à préciser. (0, 75 pt)
c. Dresser les tableaux de variation de f et de \({f^{ - 1}}\) bijection réciproque de f.      (0,5 pt)
5.a Donner une équation cartésienne de la tangente (T) à (C_f ) au point d’abscisse O.
B. Construire (C_f ) et \(\left( {{C_{{f^{ - 1}}}}} \right)\) dans un même repère orthonormé unités graphiques 1cm).
6. D est le domaine du plan limité par la courbe (C_f ) , la droite d'équation y = x et les droites d'équations respectives x = 0 ; x = 2.
En utilisant une intégration par parties. calculer l'aire A du domaine D.       (1pt)