L'épreuve comporte trois exercices et un problème, le tout sur trois gages.
Exercice 2 : 3 points
(i) On dit que deux suites \(({u_n})\) et \(({v_n})\) sont adjacentes lorsque: l'une est croissante, l'autre est décroissante et \({u_n} - {v_n}\), tend vers 0 quand n tend vers \( + \infty \).
(ii) Si \(({u_n})\) et \(({v_n})\) sont deux suites adjacentes telles que \(({u_n})\) est croissante et \(({v_n})\) est décroissante, alors pour tout n appartenant à \(\mathbb{N}\). on a : \({u_n} \le {v_n}\).
1) Compléter les phrases ci-après par le mot qui convient :
a) Toute suite croissante et majorée est ....................... .. 0,25 pt
b) Toute suite décroissante et .............. est convergente. 0.25 pt
2) Indiquer si la proposition ci-après est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée :
<< Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite n >>.
3) Relier en justifiant votre choix la courbe (C) de la colonne (l) à la courbe (C') de sa fonction dérivée dans la colonne (II)
Problème : 10 points
Ce problème comporte trois parties indépendantes A, B et C,
Partie A : 3.75 points
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \((O,\overrightarrow u ,\overrightarrow v )\)
On considère l'équation (E) : \({z^3} + 64i = 0\)
1) Déterminer une solution \({z_0}\) de (E) telle que : \(\overline {{z_0}} = - {z_0}\) 0,5 pt
2) Déterminer les deux autres solutions z1et z2, de (E), où z1 a une partie réelle négative. . 1 pt
3) Les points A,‘B et C ont pour affixes respectives :
\( - 2\sqrt 3 - 2i\), \(2\sqrt 3 - 2i\) et \(4i\).
Déterminer la nature du triangle ABC et montrer que les points A. B et C appartiennent à une conique dont on précisera la nature et les éléments caractéristiques.
4) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation f du plan qui à M(z) associe M'(z') tel que : \((z' - 4i) = r.{e^{i\theta }}(z - 4i)\) et qui transforme le point A en B ; r et \(\theta \) étant des nombres réels. 0,75pt
Partie B : 5 points
Un triangle équilatéral MNP de côté 2 est divisé en quatre parties par deux droites perpendiculaires passant par son centre de gravité G. (Voir figure ci-contre). On se propose de déterminer la valeur maximale de l'aire A de la partie hachurée.
1. Démontrer que \(A = \frac{{\sqrt 3 }}{3} - \frac{{\sqrt 3 }}{6}(x - y)\) 0,5 pt
2. Démontrer que \(y = \frac{{3x - 1}}{{3(x + 1)}}\) 1,5 pt
3. En déduire la valeur maximale de A. 2 pts
4. L’espace est associé à un repère orthonormé direct \((O,\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k )\).
On donne : \(M(0,2,0)\); \(N(\sqrt 3 ,1,0)\); \(P(\frac{{\sqrt 3 }}{3},1,\frac{{2\sqrt 6 }}{3})\).
Déterminer le système d’équations cartésiennes de la perpendiculaire au triangle MNP en son centre de gravité.
Partie C : 1.25 Point
f est la fonction numérique d'une variable réelle x définie par :
\(f(x) = {e^{2{e^x}}}\)
On pose \(g(x) = \ln f(x)\)
Montrer g est solution d'une équation différentielle du premier ordre que l'on précisera.
