L épreuve comporte deux exercices et un problème.
Exercice 1 : 4 points
Les 200 ouvriers d'une entreprise sont repartis suivant leurs salaires journaliers exprimés en milliers de francs.
1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous. 2 pts
| Salaires journaliers | [1,2[ | [2,3[ | [3,5[ | [5,8[ |
| Efeectifs | 34 | |||
| Effectifs cumulés croissant | 110 | 200 | ||
| Centres de classes | 4 |
2. Déterminer le mode de cette série et le salaire journalier moyen. 0,5pt
3. Calculer sous forme de fraction irréductible, la valeur exacte de la médiane de cette série. 1pt
4. Estimer le nombre d'ouvriers ayant un salaire journalier inférieur à 4500 F. 0,5pt
Problème (11points)
Il contient trois parties indépendantes A, B et C.
1) Développer \({(\sqrt 3 - 1)^2}\) 0,25 pt
2) Résoudre dans IR l'équation \(2{x^2} - (\sqrt 3 + 1)x\) \( + \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 0\) 1 pt.
3) En déduire dans IR, puis dans \([0,2\pi [\) l'ensemble solution de l'équation :
\(2{\cos ^2}(x) - (\) \(\sqrt 3 + 1)\cos (x) + \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 0\) 1,25 pt
B) Le plan est muni du repère orthonormé \((O,\overrightarrow i ,\overrightarrow j )\). Soit \(A\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\{ - 4}\end{array}} \right)\), \(B\left( {\begin{array}{*{20}{c}}9\\{ - 4}\end{array}} \right)\) et \(C\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\2\end{array}} \right)\) trois points du plan. Soit l le milieu du segment [BC] et G l’isobarycentre des points A, B et C.
1) a) Déterminer les coordonnées de G. 0,5pt
b) Que représente G pour le triangle ABC ? 0,25pt
c) Calculer les distances AB, AC et BC. En déduire que le triangle ABC est rectangle en A. 1pt.
2) a) Déterminer et construire l'ensemble (C) des points M du plan tels que \(M{B^2} + M{C^2} = 100\) 1 pt
b) En déduire une représentation paramétrique de (C) 0,5 pt
C) On considère la fonction f numérique de variable réelle, de courbe représentative (Cf) dans un repère orthonormé \((O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j )\). Le tableau de variation de f est le suivant :
Par lecture du tableau de variation ci-dessus ; déterminer:
1) L'ensemble de définition Df, de f ; 0,25 pt
2) Les limites de f aux bornes de D 1pt;
3) f (-1) : f (1) : f ‘(-1) et f ’(1) 1 pt
II) On suppose que \(f(x) = ax + b + \frac{c}{x}\) pour tout \(x \ne 0\) où a, b et c sont trois réels.
1) En utilisant les résultats précédents, montrer que \(f(x) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}\) pour: tout \(x \ne 0\) 0,75 pt
2) Montrer que la droite (D) d'équation y = x + 1 est asymptote oblique à la courbe (Cf). 0,5pt
3) Montrer que le point \(\Omega \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\end{array}} \right)\) est centre de symétrie pour la courbe (Cf). 0,5pt
4) Construire avec soin (Cf) et (D) dans le même repère orthonormé \((O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j )\) 1.25pt
Unité sur les axes : 1 cm
