Partie A : Évaluation des ressources 15 pts

EXERCICE 1 4,75 pts

1. Déterminons les racines cubiques de 8 0,75 pt
Déterminons les solutions complexes de l’équation \({z^3} = 8\)
On a : \({z^3} - 8 = 0 \Rightarrow \) \(\left( {z - 2} \right)\) \(\left( {{z^2} + 2z + 4} \right) = 0\) soit \({z - 2 = 0}\) et \({{z^2} + 2z + 4 = 0}\)
Résolvons l'équation : \({{z^2} + 2z + 4 = 0}\)
\(\Delta = - 12\) \( = {\left( {2i\sqrt 3 } \right)^2}\) et les solutions de cette équations sont : \( - 1 - i\sqrt 3 \) et \( - 1 + i\sqrt 3 \). Donc les racines cubiques de 8 sont : \(2\), -\( - 1 - i\sqrt 3 \) et \( - 1 + i\sqrt 3 \)
2.a) Montrons que \(\frac{{{z_C} - {z_B}}}{{{z_A} - {z_B}}} = {e^{ - i\frac{\pi }{3}}}\) et donnons la nature du triangle ABC. 0,75 pt
\(\frac{{{z_C} - {z_B}}}{{{z_A} - {z_B}}} = \) \(\frac{{2 + 1 + i\sqrt 3 }}{{ - 1 + i\sqrt 3 + 1 + i\sqrt 3 }}\) \( = \frac{{3 + i\sqrt 3 }}{{2i\sqrt 3 }}\) \( = \frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) \( = {e^{ - i\frac{\pi }{3}}}\)
Donc le triangle ABC est équilatéral
2.b) Déterminons le centre et le rayon du cercle \(\left( {{\Gamma _1}} \right)\) circonscrit au triangle ABC 1,5 pt
Soit G le centre du cercle circonscrit, G est aussi le centre de gravité de ce triangle car ABC est un triangle équilatéral. Le point G a pour affixe \({z_G} = \frac{1}{3}({z_A} + {z_B}\) \( + {z_C}) = 0\)
donc \(G = O\) origine du repère et le rayon \({R_1} = OC = 2\)
2.c) Montrons que l’ensemble \(\left( {{\Gamma _2}} \right)\) des points M d’affixe \(z\) qui vérifie \(2(z + \overline z ) + z\overline z = 0\) est le cercle de centre \(\Omega \) et d’affixe \( - 2\) et de rayon \( 2\). 0,5 pt
Soit \(MM(x, y, z)\) un point de \(\left( {{\Gamma _2}} \right)\) d’affixe \(z = x + iy\), on a \(z + \overline z = 2x\) et \(z\overline z = {x^2} + {y^2}\) d’où
\(4x + {x^2} + {y^2}\) \( = 0 \Rightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + \) \({y^2} = {2^2}\). Ainsi \(\left( {{\Gamma _2}} \right)\) est le cercle de centre \(\Omega \) d’affixe \({z_\Omega } = - 2\) et de rayon \({R_2} = 2\).
2d) Vérifions que A et B sont des éléments de \(\left( {{\Gamma _2}} \right)\). 0,5 pt
\(2({z_A} + \overline {{z_A}} ) + \) \({z_A}\overline {{z_A}} = - 4 + \) \({2^2} = 0\) donc \(A \in \left( {{\Gamma _2}} \right)\).
\(2({z_B} + \overline {{z_B}} ) + \) \({z_B}\overline {{z_B}} = - 4 + \) \({2^2} = 0\) donc \(B \in \left( {{\Gamma _2}} \right)\).
2.e) Déterminons l’écriture complexe de la similitude \(S\) de centre \(\Omega \) telle que \(S(A)=B\) 0,75 pt
L’écriture complexe de la similitude s’écrit sous la forme \(z’ = az +b\)
\(S(\Omega ) = \Omega \Rightarrow \) \(2a + b = - 2\)\(2a + b = - 2\) et \(S(A) = B \Rightarrow \) \(\left( { - 1 + i\sqrt 3 } \right)a + \) \(b = - 1 - i\sqrt 3 \)
En résolvant le système d’équation, on trouvera \(a = - \frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) et \(b = - 3 - i\sqrt 3 \)
Par conséquent \(z' = \left( { - \frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)z\) \( - 3 - i\sqrt 3 \)

EXERCICE 2

1.a) Résolvons l'équation \((E)\) : \(y' - 2y = 0\) dans \(R\). 0,5 pt
\(\left( E \right)y' - 2y = 0 \Rightarrow \) \(y' = 2y \Leftrightarrow y:\) \(x \mapsto k{e^{2x}}\) avec \(k \in R\)
1.b) Montrons que la solution \(f \) de \((E)\) telle que \(f(0) = 1\) est définie par : \(f(x) = {e^{kx}}\) 0,5 pt
\(f\) solution de \((E)\) donc \(f(0) = 1 \Rightarrow k = 1\) donc \(f(x) = {e^{kx}}\)
1.c) Déterminons en fonction de \(n\), la valeur moyenne de \(f\) sur l’intervalle \(\left[ {n, n + 1} \right]\).
Celte valeur est : \(M = \frac{1}{{n + 1 - n}}\) \(\int\limits_n^{n - 1} {f(x)dx} = \) \(\left[ {\frac{1}{2}{e^{2x}}} \right]_n^{n + 1}\) \( = \frac{1}{2}{e^{2n}}\left( {{e^2} - 1} \right)\)
2.a) Calculons \({u_0}\) et \({u_1}\) 0,5 pt
\({u_0} = \frac{1}{2}\left( {{e^2} - 1} \right)\) et \({u_1} = \frac{1}{2}{e^2}\left( {{e^2} - 1} \right)\)
2. b) Montrons que \(\left( {{u_n}} \right)\) est une suite géométrique de raison \({e^2}\)
Soit \(n \in N\). \({u_{n + 1}} = \frac{1}{2}\left( {{e^2} - 1} \right)\) \({e^{2n + 2}} = {e^2}\) \(\left[ {\frac{1}{2}\left( {{e^2} - 1} \right){e^{2n}}} \right]\) \( = {e^2}{u_n}\)
Donc \(\left( {{u_n}} \right)\) est une suite géométrique de raison \({{e^2}}\).
2. c) Déterminons la valeur exacte de la somme \({u_0} + {u_1} + {u_2}\) \( + ... + {u_{2023}}\)
Cette somme est composée de 2024 termes consécutifs de la suite \((Un)\), on a donc
\({u_0} + {u_1} + {u_2}\) \( + ... + {u_{2023}} = \) \(\frac{{{u_0}\left( {{e^{2 \times 2024}} - 1} \right)}}{{{e^2} - 1}}\) \( = \frac{{\left( {{e^{2 \times 2024}} - 1} \right)}}{{{e^2} - 1}}\) \(\frac{1}{2}\left( {{e^2} - 1} \right)\) \( = \frac{{\left( {{e^{4048}} - 1} \right)}}{2}\) 0,5 pt

EXERCICE 3 / 3 pts

l. Une urne contient 5 jetons portant les nombres : \(1, e\) , \({{e^2}}\), \(\frac{1}{e}\) et \(\frac{1}{{{e^2}}}\)
1. Déterminons la probabilité de l'évènement A : « M appartient à l’axe des réels »
Le point M a pour affixe \(z = \ln a + i\ln b\) et appartient à l'axe \(\left( {O;\overrightarrow i } \right)\).
Donc \(\ln b = 0 \Rightarrow b = 1\)
Si \(U = \left\{ {1,e,{e^2},\frac{1}{e},\frac{1}{{{e^2}}}} \right\}\) alors l'univers des éventualités est \(\Omega = U \times U\).
\(Card(A) = \) \(Card(U \times \{ 1\} ) = \) \(5 \times 1 = 5\) et \(Card\left( \Omega \right) = 5 \times 5 = 25\) donc \(P(A) = \frac{{CardA}}{{Card\Omega }} = \) \(\frac{5}{{25}} = \frac{1}{5}\)
2. Montrons que la probabilité de l’évènement B : « M appartient à l’axe des imaginaires purs » est égale à 0,2
Le point M a pour affixe \(z = lna + ilnb\) et appartient à l'axe \(\left( {O;\overrightarrow j } \right)\).
donc \(\ln a = 0 \Rightarrow a = 1\), \(Card\left( B \right) = \) \(Card\left( {\{ 1\} \times U} \right) = 5\)
\(P(A) = \frac{{CardA}}{{Card\Omega }}\) \( = 0,5\)

ll.1. Déterminons une équation de la droite de Mayer de \((x, y)\).
Déterminons les coordonnées des points moyens partiels \({G_1}\) et \({G_2}\)
\({x_1} = \frac{1}{3}(7 + \) \(7,8 + 9,2)\) et \({y_1} = \frac{1}{3}(10,5 + \) \(11 + 11,5)\)
\({G_1}\left( {8, 240} \right)\)
\({G_2}\left( {11, 259} \right)\)
La droite de Mayer passe par les points \(G_1\) et \(G_2\) et s’écrit sous la forme \(y = ax + b\) avec \(a = \frac{{140 - 259}}{{8 - 11}} = \frac{{19}}{3}\) et \(b = 240 - \frac{{19}}{3}\) \( \times 8 = \frac{{568}}{3}\) donc la droite de Mayer est : \(y = \frac{{19}}{3}x + \frac{{568}}{3}\)
2. Déduisons-en en une estimation des frais de publicité d'une entreprise dont le chiffre d'affaires est de 3 milliards de francs
Pour 3 milliards de chiffre d'affaires, \(y = 300\) et on résout l'équation : \(\frac{{19}}{3}x + \frac{{568}}{3} = 300\) donc \(x = 17,47\) donc les frais de publicité sont environ de 174.700.000 F 0,5 pt

EXERClCE 4

On donne la fonction \(g\) définie sur \(D = \left] { - 1;0} \right[\) par : \(g(x) = \frac{1}{{x(x + 1)}}\)
a) Calculons les limites de \(g\) à droite de \(-1\) et à gauche de \(0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} g(x) = - \infty \) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {0^ - }} g(x) = - \infty \)
b) Étudions les variations de \(g\) 0,5 pt
La dérivée de \(g\) est telle que \(g'(x) = \frac{{ - 2x - 1}}{{{{\left( {{x^2} + x} \right)}^2}}}\); \(g'(x) = 0 \Rightarrow \) \( - 2x - 1 = 0 \Rightarrow \) \(x = - \frac{1}{2}\)
Pour \(x \in \left] { - 1; - \frac{1}{2}} \right]\), \(g'(x) \ge 0\) donc \(g\) est croissante su \(\left] { - 1; - \frac{1}{2}} \right]\)
Pour \(x \in \left[ { - \frac{1}{2};0} \right[\),\(g'(x) \le 0\) donc est décroissante sur \(\left[ { - \frac{1}{2};0} \right[\)
c) Déduisons-en que pour tout \(x \in D\), \(g(x) \prec 0\)
\(g\left( {\left[ { - 1;0} \right[} \right) = \left] { - \infty ; - 4} \right]\) donc \(x \in D\), \(g(x) \prec 0\) 0,25 pt
d) Montrons que pour tout \(x \in D\), \(g(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\)
Pour tout \(x \in D\), \(\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}} = \) \(\frac{{x + 1 - x}}{{x(x + 1)}} = \frac{1}{{{x^2} + x}}\) \( = g(x)\) 0,5 pt
Déduisons-en sur \(\left] { - 1;0} \right]\) la primitive G de g qui s’annule en \( - \frac{1}{2}\)
Pour tout \(x \in D\), \(g(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\) \( \Rightarrow G(x) = \ln x - \) \(\ln \left( {x + 1} \right) + cte, \) ainsi : \(g( - \frac{1}{2}) = 0 \Rightarrow a = 0\)
\(G(x) = \ln \left| x \right|\) \( - \ln \left| {x + 1} \right| = \) \(\ln \left( {\frac{{ - x}}{{x + 1}}} \right)\) dans \(x \in D\) 0,5 pt
2. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\left] { - 1;0} \right[\) par : \(f(x) = \ln \left( {\frac{{ - x}}{{x + 1}}} \right)\)
a) Calculons les limites de \(f\) aux bornes de l’intervalle \(\left] { - 1;0} \right[\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) \to - \infty \) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {-1^ + }} f(x) \to + \infty \) 1 pt
Montrons que pour tout \(x \in \left] { - 1;0} \right[\), \(f'(x) = g(x)\)
\(f'(x) = \frac{{\left( {\frac{{ - x}}{{x + 1}}} \right)'}}{{\left( {\frac{{ - x}}{{x + 1}}} \right)}}\) \( = \frac{1}{{x(x + 1)}}\) 0,5 pt
c) Déduisons-en le sens de variation de \(f\) sur \(\left] { - 1;0} \right[\)
Pour tout \(x \in \left] { - 1;0} \right[\),\(f'(x) = g(x)\) et d’après la question 1c) \(g(x) \prec 0\) donc \(f'(x) \prec 0\)
Ainsi la fonction \(f\) est strictement décroissante sur \(\left] { - 1;0} \right[\)

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES 5 pts

Tâche 1 : A partir de combien d’années les intérêts produits à la banque permettront-ils à Tang d’acheter un autre billet d'avion pour son épouse ? 1,5 pt

Soit \({u_0} = a\) le montant d'argent du billet d’avion déposé dans la banque (\(a \in R\))
Après un an, le montant est de : \({u_1} = {u_0} + 0.05{u_0}\) \( = 1,05{u_0}\)
Après deux ans, le montant est de : \({u_2} = {\left( {1,05} \right)^2}{u_0}\)
Après \(n\) années (\(n \in N\)), le montant est de \({u_n} = {\left( {1,05} \right)^n}a\). On a ainsi construit une suite \(\left( {{u_n}} \right)\) qui est géométrique de raison 1,05. Or pour acheter le billet d'avion de son épouse, il faut que : \({u_n} \ge 2{u_0} \Rightarrow \) \({\left( {1,05} \right)^n}a \ge 2a\) \( \Leftrightarrow n \ge 14,08\)
Tang doit attendre 15 ans pour acheter un billet d'avion à son épouse

Tâche 2 : Tang pourra-t-il à partir des loyers de ses maisons réaliser son projet ? 1,5 pt

Étudions la variation de la fonction S définie par : \(S(x) = \frac{1}{2}({x^3} - \) \(15{x^2} + 63x)\) sur l'intervalle \([1, 9]\) .
\(S'(x) = \frac{3}{2}({x^2} - \) \(10x + 21) = \frac{3}{2}\) \(\left( {x - 3} \right)\left( {x - 7} \right)\)
\(S'(x) = 0\), on a \(x=3\) et \(x=7\)
Sur \([1, 3]\) la fonction \(S\) est croissante et prend des valeurs allant de 24,5 à 40,5
Sur \([3, 7]\) la fonction \(S\) est décroissante et prend des valeurs allant de 40,5 à 24,5
Sur \([7, 9]\) la fonction \(S\) est croissante et prend des valeurs allant de 24,5 à 40,5.
En conclusion : le montant des loyers au cours des 9 premières années a des valeurs qui se situent entre 24.500.000 F et 40.500.000 F et n’ont pas atteint les 41.000.000 F recherchés. Tang ne pourra donc pas réaliser son projet.

Tâche 3 : Tang pourra-t-il acheter ce sac ? 2 pts

Soit \(x\) la valeur de la baisse subie par les articles
Si \({P_1}\) est le prix de la veste après la première baisse, on a : \({P_1} = 140000 - 1400x\)
Si \({P_2}\) est le prix de la veste après la deuxième baisse, on a :
\({P_2} = {P_1} - \frac{{{P_1}}}{{100}}x\) \( = 140000 - 2800x\) \( + 14{x^2}\)
\({P_2} = 126350 \Rightarrow \) \(140000 - 2800x + \) \(14{x^2} = 126350\) \((E)\)
Les solutions de \((E)\) sont 5 et 195. La via-ieur exacte de ia baisse est \(x = 5\).
Le prix du sac après la deuxième baisse : \(P = 20000 - \) \(20000 \times \frac{5}{{100}} = 19000\) F
Conclusion : Tang ne pourra pas acheter ce sac car la somme d’argent don: il dispose est plus petite que 19 000 F.