PARTIE A : Évaluation des ressources (15 points)

EXERCICE 1 : (4 points)

Pour chacune des questions suivantes, quatre réponses vous sont proposées. Recopions le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la bonne réponse.

EXERCICE 2 : (6 points)

Le tableau donne le relevé pendant huit semaines successives, du nombre de cas déclarés lors d'une épidémie.
1. Représenter graphiquement le nuage de points \(\left( {{x_i};{y_i}} \right)\) dans un repère orthogonal. 2,5 pts
2. Calculons les coordonnées \(\left( {\overline x ;\overline y } \right)\) du point moyen G de cette série statistique. 0,5 pt
\(\overline x = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^8 {{x_i}} }}{8}\) \( = \frac{{36}}{8} = 4,5\)
\(\overline y = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^8 {{y_i}} }}{8}\) \( = \frac{{528}}{8} = 66\)
Donc \(G\left( {4,5;66} \right)\)
3. On subdivise cette série statistique en deux sous séries \(\left( {{S_1}} \right)\) et \(\left( {{S_2}} \right)\) constituées respectivement par les quatre premiers points et les quatre derniers points du nuage de points \(\left( {{x_i};{y_i}} \right)\)
a) Déterminons les coordonnées des points moyens \({{G_1}}\) et \({{G_2}}\) des séries statistiques \(\left( {{S_1}} \right)\) et \(\left( {{S_2}} \right)\) respectivement. 1 pt
\({x_1} = \) \(\frac{{1 + 2 + 3 + 4}}{4}\) \( = 2,5\) et \({y_1} = \) \(\frac{{25 + 44 + 54 + 65}}{4}\) \( = 47\) donc \({G_1}\left( {2,5;47} \right)\)
\({x_2} = \) \(\frac{{5+6+7+8}}{4}\) \( = 6,5\) et \({y_2} = \) \(\frac{{75+80+90+95}}{4}\) \( = 85\) donc \({G_2}\left( {6,5;85} \right)\)
b) Vérifions qu'une équation de la droite d'ajustement par la méthode de Mayer est : \(y = 9,5x + 23,25\) 0.5pt
Une équation de la droite d’ajustement est de la forme \(y = ax + b\) avec \(a = \frac{{85 - 47}}{{6,5 - 2,5}} = 9,5\) et \(b = 85 - 9,5 \times \) \(6.5 = 23,25\)
D’où l’équation \(y = 9,5x + 23,25\)
c) En supposant que l'évolution de cette épidémie suit l'ajustement précédent, déterminons à l'unité près, l'estimation du nombre de cas déclarés à la semaine 15. 0.5pt
\(y = 9,5 \times 15 + \) \(23,25 = 165,75\) \( \approx 166\) cas
4. Déterminons la probabilité pour que six hommes exactement fassent partie de ce groupe. 1 pt
\(p = \frac{{C_{15}^6C_{10}^4}}{{C_{25}^{10}}} = 0,32\)

EXERCICE 3 : (5 points)

1. Calculons la limite de la fonction \(f \) en \({ - \infty }\), \({ + \infty }\), \( - {2^ - }\) et \( - {2^ + }\)
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - \infty \);
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x) = + \infty \);
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = - \infty \);
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty \).
2. a) Montrons que pour tout réel \(x \in \left] { - \infty ; - 2} \right[ \cup \) \(\left] { - 2; + \infty } \right[\),\(f'(x) = \frac{{{x^2} + 4x + 6}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\). 0,75pt
En effet : \(f'(x) = \frac{{u'v - v'u}}{{{v^2}}}\) avec \(u(x) = {x^2} - x - 8\) et \(v(x) = x + 2\), on a \(u'(x) = 2x - 1\) \(v'(x) = 1\)
\(f'(x) = \) \(\frac{{{x^2} + 4x + 6}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)
b) Justifions que \({{x^2} + 4x + 6 \succ 0}\) pour tout réel \(x\). 0,25pt
Le discriminant de \({x^2} + 4x + 6\) est \({4^2} - 4 \times 1 \times 6\) \( = - 8 \prec 0\)
Donc \({{x^2} + 4x + 6 \succ 0}\) pour tout réel \(x\).
c) En déduisons le signe de \(f’(x)\) et le sens de variations de \(f\) sur \(\left] { - \infty ; - 2} \right[\) et sur \(\left] { - 2; + \infty } \right[\) 1 pt
pour tout reel \(x\), \(f'(x) \succ 0\) donc \(f\) est strictement croissant sur sur \(\left] { - \infty ; - 2} \right[\) et sur \(\left] { - 2; + \infty } \right[\)
3. Calculons \(f (0)\) puis en déduire les coordonnées du point d'intersection de \(\left( {Cf} \right)\) avec l'axe des ordonnées. 0,5pt
\(f’(0) = -4\), donc le couple de coordonnées du point est \((0,-4)\)
4. Montrons que pour tout réel \(x \in \left] { - \infty ; - 2} \right[ \cup \left] { - 2; + \infty } \right[\), \(f(x) = x - 3 - \frac{2}{{x + 2}}\) 0,75 pt
\(x - 3 - \frac{2}{{x + 2}} = \) \(\frac{{(x - 3)(x + 2) - 2}}{{x + 2}}\) \( = \frac{{{x^2} - x - 8}}{{x + 2}}\) \( = f(x)\)
5. Montrons que \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(\left] { - 2; + \infty } \right[\), 0,75 pt
\(F'(x) = x - 3 - \) \(\frac{2}{{x + 2}} = f(x)\)
Donc \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(\left] { - 2; + \infty } \right[\),

Partie B : Évaluation des compétences 5 pts

Tache 1 : Déterminons le prix du m² de carreaux fleuris après la hausse 1,5 pt
• Choix de l’inconnue, désignons par \(x\) la valeur du taux de chaque hausse
• Mise en équation : on a \(8000{\left( {1 + \frac{x}{{100}}} \right)^2}\) \( = 9680\)
• Cette équation devient après développement et réduction \({x^2} + 200x\) \( - 2100 = 0\)
• Résolution de \({x^2} + 200x\) \( - 2100 = 0\)
• \(\Delta = {\left( {220} \right)^2}\)
• \({x_1} = \frac{{ - 200 - 220}}{2}\) \( = - 210\) et \({x_2} = \frac{{ - 200 + 220}}{2}\) \( = 10\)
• Choix de la valeur de \(x\) : il faut que \(x \succ 0\) soit \(x=10\)
• Calcul du prix du m² de carreaux fleuris apres la hausse : \(6000 + \frac{{10}}{{100}} \times \) \(6000 = 6600\)
Conclusion : le prix du m² de carreaux fleuris après la hausse est de 6600FCFA

Tache 2 : Déterminons le prix d’achat du m² de carreaux vitrifiés et celui du m² de carreaux fleuris 1,5 pt
• Choix des inconnues : Désignons par \(x\) et par \(y\) les prix d’achats respectifs du m² de carreaux vitrifiees et du m² de carreaux fleuris.
• Mise en équation : on a \(30x + 20y = \) \(415000\) et \(25x + 12y = \) \(315500\), on obtient un système de deux équations à deux inconnues.
• Résolution du système : on obtient \(\left( {x;y} \right) = \) \(\left( {9500;6500} \right)\)
Conclusion : le prix d’achat du m² de carreaux vitrifiees est de 9500 FCFA et celui des carreaux fleuris de 6500 FCFA.

Tache 3 : Déterminons le nombre d’interrupteurs, le nombre de prises et le nombre de d’ampoules économiques compris dans le devis de l’électricien. 1,5 pt
Choix des inconnues : soient \(x\), \(y\) et \(z\) les nombres respectifs d’interrupteurs, de prises et d’ampoules économiques.
Mise en équations : \(x + y + z = 50\), \(1000x + 800y + \) \(900z = 45500\) et \(1000x + 700y\) \( + 800z = 42500\), on obtient un système de trois équations à trois inconnues.
Résolution du système : après résolution, on obtient \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {20;15;15} \right)\)
Conclusion : Le nombre d’interrupteurs est de 20, le nombre de prises 15 et le nombre d’ampoules 15
Présentation 0,5 pt