Partie A : Évaluation des ressources ( 15 points)

Exercice I / 4 points

1. Déterminons tous les couples $(x; y)$ de ${R^2}$ solutions du système $(S)$ : $\left\{ \begin{array}{l} 14x + 8y = 222\\ x + y = 21 \end{array} \right.$
En résolvant le système $(S)$, on obtient $x = 9$ et $y = 12$.
Le seul couple solution de $(S)$ est $(9; 12)$. 2 pts
2.a) Montrons que $a$ et $b$ vérifient le système $(S)$. 1 pt
Nombre total de sacs dans le camion ; on a : $a + b = 21$.
Charge totale du camion ; on a: $140a + 80b = 2220$; soit $14a + 8b = 222$.
D'où $a$ et $b$ vérifient le système $(S)$.
b) Calculons le nombre de sacs de haricot et le nombre de sacs de maïs transportés par le camion. 1 pt
$a$ et $b$ vérifient $(S)$ alors $a = 9$ et $b = 12$.
Donc le camion transporte $9$ sacs de haricot et $12$ sacs de maïs.

Exercice 2 6 points

a) Déterminons le nombre de prises possibles. 1 pt
$C_{12}^3 = 80730$ Soit 80730 prises distinctes possibles.
b) Déterminons le nombre de prises comportant exactement 3 boutons rouges. 1,5 pt
$C_{12}^3 \times C_{15}^2 = 23100$; soit 23100 prises comportant exactement 3 boutons rouges. 1,5 pt
2.a) Calculons la moyenne M des masses corporelles. 1 pt
$M =$ $\frac{{5 \times 1 + 6 \times 3 + 4 \times 5 + 3 \times 7 + 2 \times 9}}{{20}}$ $= \frac{{82}}{{20}} = 4,1$
Donc la moyenne des masses est de 4,1 kg.
b.i) Recopions et complétons le tableau par la ligne des Effectifs Cumulés 1,25 pt

ii) Déduisons-en la classe médiane. 0.25 pt
$\frac{{20}}{2} = 10$, Le 10e enfant a sa masse corporelle dans l'intervalle $[2; 4[$
Donc la classe médiane est $[2, 4[$.
c) Construisons l'histogramme de cette série. 1 pt

Exercice 3 / 5 pts

1a)Calculons $f’(x)$ 0,5 pt
$f'(x) = 2x - 4$
1.b) Dressons le tableau de variations de la fonction $f$. 2 pts
$f'(x) = 0$ alors $x = 2$. $f(0) =f(4) = 5$ et $f(2) = 1$;
2. Déterminons une équation de la tangente $(T)$ à $(C)$ au point d'abscisse ${x_0} = 3$ 0,75 pt
$(T)$ : $y = f’(3)(x - 3) +f(3)$ ; or $f'(3) = f(3) = 2$ donc $(T)$ : $y = 2x - 4$.
3. Construisons $(C)$ et $(T)$.

Partie B : Évaluation des compétences / 5 pts

Tâche 1. Déterminons la longueur du fil barbelé utile. 1,5 pt
Soit $L$ la longueur du fil barbelé nécessaire. Désignons par $l$ l'autre longueur du côté de l'angle droit. L'aire du Champ est de 9600 m2. $\frac{{L \times l}}{2} = 9600$ d'où ${L \times l = 19200}$.
La somme des longueurs des côtés de l'angle droit est 280 . On a $L + l = 280$
On a le système $\left\{ \begin{array}{l} L \times l = 19200\\ L + l = 280 \end{array} \right.$
$L$ et $l$ sont les solutions de l'équation ${x^2} - 280x + 19200 = 0$ $(E)$;
$\Delta = 1600$ ; $x = 120$ ou $x = 160$ or $L \succ l$ d'où la longueur du fil nécessaire est.de 120 m.

Tâche 2 : Déterminons le prix du cageot de tomates. 1,5 pt
Prix d'un seau de carottes après la 1ère hausse. $5000 + 50x$. .
Prix d'un seau de ‘carottes après la 2ème hausse. $5000 + 50x +$ $(50 + 0,5x)x = 5408$
${x^2} + 200x$ $- 816 = 0$
Soit $x= 4$ ou $x = -204$.
Soit le taux des deux hausses qui est-de 4%.
Prix du cageot de tomates
$6000 + 60 \times 4 +$ $\left( {60 + 0,6 \times 4} \right) \times 4 =$ $6489,6$
Soit environ 6489,6 frs.

Tâche 3. Déterminons le rang de l'année dont la production sera maximale et cette production maximale. 1,5 pt
Étude de la fonction $q(t) = - {t^2} +$ $10t - 5$ pour $t \in \left[ {1;10} \right]$
$q'(t) = - 2t + 10$ , $q'(t) = 0$ alors $t = 5$ et $q(5) = 20$;
La production sera maximale à la 5è année et sera de 20 kg.

Présentation : 0,5 pt