Partie A : Évaluation des ressources ( 15 points)

Exercice I / 4 points

1. Déterminons tous les couples \((x; y)\) de \({R^2}\) solutions du système \((S)\) : \(\left\{ \begin{array}{l} 14x + 8y = 222\\ x + y = 21 \end{array} \right.\)
En résolvant le système \((S)\), on obtient \(x = 9\) et \(y = 12\).
Le seul couple solution de \((S)\) est \((9; 12)\). 2 pts
2.a) Montrons que \(a\) et \(b\) vérifient le système \((S)\). 1 pt
Nombre total de sacs dans le camion ; on a : \(a + b = 21\).
Charge totale du camion ; on a: \(140a + 80b = 2220\); soit \(14a + 8b = 222\).
D'où \(a\) et \(b\) vérifient le système \((S)\).
b) Calculons le nombre de sacs de haricot et le nombre de sacs de maïs transportés par le camion. 1 pt
\(a\) et \(b\) vérifient \((S)\) alors \(a = 9\) et \(b = 12\).
Donc le camion transporte \(9\) sacs de haricot et \(12\) sacs de maïs.

Exercice 2 6 points

a) Déterminons le nombre de prises possibles. 1 pt
\(C_{12}^3 = 80730\) Soit 80730 prises distinctes possibles.
b) Déterminons le nombre de prises comportant exactement 3 boutons rouges. 1,5 pt
\(C_{12}^3 \times C_{15}^2 = 23100\); soit 23100 prises comportant exactement 3 boutons rouges. 1,5 pt
2.a) Calculons la moyenne M des masses corporelles. 1 pt
\(M = \) \(\frac{{5 \times 1 + 6 \times 3 + 4 \times 5 + 3 \times 7 + 2 \times 9}}{{20}}\) \( = \frac{{82}}{{20}} = 4,1\)
Donc la moyenne des masses est de 4,1 kg.
b.i) Recopions et complétons le tableau par la ligne des Effectifs Cumulés 1,25 pt

ii) Déduisons-en la classe médiane. 0.25 pt
\(\frac{{20}}{2} = 10\), Le 10e enfant a sa masse corporelle dans l'intervalle \([2; 4[\)
Donc la classe médiane est \([2, 4[\).
c) Construisons l'histogramme de cette série. 1 pt

Exercice 3 / 5 pts

1a)Calculons \(f’(x)\) 0,5 pt
\(f'(x) = 2x - 4\)
1.b) Dressons le tableau de variations de la fonction \(f\). 2 pts
\(f'(x) = 0\) alors \(x = 2\). \(f(0) =f(4) = 5\) et \(f(2) = 1\);
2. Déterminons une équation de la tangente \((T)\) à \((C)\) au point d'abscisse \({x_0} = 3\) 0,75 pt
\((T)\) : \(y = f’(3)(x - 3) +f(3)\) ; or \( f'(3) = f(3) = 2\) donc \((T)\) : \(y = 2x - 4\).
3. Construisons \((C)\) et \((T)\).

Partie B : Évaluation des compétences / 5 pts

Tâche 1. Déterminons la longueur du fil barbelé utile. 1,5 pt
Soit \(L\) la longueur du fil barbelé nécessaire. Désignons par \(l\) l'autre longueur du côté de l'angle droit. L'aire du Champ est de 9600 m2. \(\frac{{L \times l}}{2} = 9600\) d'où \({L \times l = 19200}\).
La somme des longueurs des côtés de l'angle droit est 280 . On a \(L + l = 280\)
On a le système \(\left\{ \begin{array}{l} L \times l = 19200\\ L + l = 280 \end{array} \right.\)
\(L\) et \(l\) sont les solutions de l'équation \({x^2} - 280x + 19200 = 0\) \((E)\);
\(\Delta = 1600\) ; \(x = 120\) ou \(x = 160\) or \(L \succ l\) d'où la longueur du fil nécessaire est.de 120 m.

Tâche 2 : Déterminons le prix du cageot de tomates. 1,5 pt
Prix d'un seau de carottes après la 1ère hausse. \(5000 + 50x\). .
Prix d'un seau de ‘carottes après la 2ème hausse. \(5000 + 50x + \) \((50 + 0,5x)x = 5408\)
\({x^2} + 200x\) \( - 816 = 0\)
Soit \(x= 4\) ou \(x = -204\).
Soit le taux des deux hausses qui est-de 4%.
Prix du cageot de tomates
\(6000 + 60 \times 4 + \) \(\left( {60 + 0,6 \times 4} \right) \times 4 = \) \(6489,6\)
Soit environ 6489,6 frs.

Tâche 3. Déterminons le rang de l'année dont la production sera maximale et cette production maximale. 1,5 pt
Étude de la fonction \(q(t) = - {t^2} + \) \(10t - 5\) pour \(t \in \left[ {1;10} \right]\)
\(q'(t) = - 2t + 10\) , \(q'(t) = 0\) alors \(t = 5\) et \( q(5) = 20\);
La production sera maximale à la 5è année et sera de 20 kg.

Présentation : 0,5 pt