PARTIE A : Évaluation des ressources / 13 pts

Exercice 1 / 3 points

1.a Calculons \({\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^2}\) 0.25 pt
\({\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^2} = \left( {1 + \sqrt 2 } \right)\) \(\left( {1 + \sqrt 2 } \right) = 3 + 2\sqrt 2 \)
1. b) Résolvons dans \(R\), l'équation \(4{X^2} + 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\) \(X - \sqrt 2 = 0\)
Son discriminant est égal à \(\Delta = 4{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^2}\)
Ainsi, les solutions de cette équation sont : \( - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) et \(\frac{1}{2}\) donc l'ensemble solution est \(\left\{ { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{1}{2}} \right\}\) 0,75 pt
2. Déduisons-en la résolution dans \(\left] { - \pi ;\pi } \right]\) de l'équation
\(4{\sin ^2}x + \) \(\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\sin x\) \( - \sqrt 2 = 0\)
En posant \(X = \sin x\) et d'après la question l.1.b), cette équation est équivalente à : \(\sin x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) ou \(\sin x = \frac{1}{2}\)
Ainsi, dans \(R\), \(x = - \frac{\pi }{4} + 2k\pi \) ou \(x = - \frac{{3\pi }}{4} + 2k\pi \) ou \(x = \frac{\pi }{6} + 2k\pi \) ou \(x = \frac{{5\pi }}{6} + 2k\pi \), avec \(k \in Z\).
Donc, dans \(\left] { - \pi ;\pi } \right]\), l'ensemble solution est \(\left\{ { - \frac{\pi }{4}; - \frac{{3\pi }}{4};\frac{\pi }{6};\frac{{5\pi }}{6}} \right\}\) 0,5 pt
l. 3. a) Plaçons les points A, B, C et D, images respectives des réels \(\left\{ { - \frac{\pi }{4}; - \frac{{3\pi }}{4};\frac{\pi }{6};\frac{{5\pi }}{6}} \right\}\) sur le cercle trigonométrique.
l. 3. b) Calculons l'aire du quadrilatère ABCD. 0,5 pt
ABCD est un trapèze isocèle dont l'aire est égale à \(\frac{1}{4}\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)\) \(\left( {1 + \sqrt 2 } \right) = \) \(\frac{{2 + \sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 }}{4}\) ua 0,5 pt
Il. Calculons \({S_{10}}\).
\({S_{10}}\) est la somme des 11 premiers termes consécutifs de la suite arithmétique \(\left( {{u_n}} \right)\) dont le premier terme est \({{u_0}}\) , ainsi \({S_{10}} = 11 \times \frac{{{u_0} + {u_{10}}}}{2}\) \( = 11 \times \frac{{2 + 2 + 10 \times 3}}{2}\) \( = 187\)

Exercice 2 / 3 points

1. Dessinons un graphe permettant de modéliser ce réseau. 1 pt
2. Complétons le tableau suivant 0,5 pt

3. Déterminons le nombre d’arêtes de ce réseau. 0,5 pt
Ce nombre est égal a somme des degrés divisée par 2 . Donc il y'a au total 8 arêtes. 0,5 pt
4. Décrivons toutes les possibilités (chemins) de le faire, sachant que la transmission ne peut passer qu'une seule fois par un village. 0,5 pt
Ces possibilités sont: B-N ; B-M-N ; B-M-E-T-N ; B-M—T-N ; B-E-T-N ; B-E-M-N ; B-E-M-T-N ; B-E-T-M-N.
5. Choisissons parmi les réponses proposées, celle qui donne le nombre total de coopérations. 0,5 pt
C'est : b) 10.

Exercice 3 / 3 points

1. Déterminons la nature et les éléments caractéristiques de \((C)\). 0,75 pt
L'équation de \((C)\) est de la forme \({x^2} + {y^2} - 2ax\) \( - 2by + c = 0\) avec \(a = 3\), \(b = -3\) et \(c = 2\).
Puisque \({a^2} + {b^2} - c = 16\) est strictement positif, alors \((C)\) est le cercle de centre de coordonnées \(\left( {3; - 3} \right)\) et de rayon \(\sqrt {16} = 4\)
2. Donnons une représentation paramétrique de \((D)\).
Les coordonnées d'un vecteur directeur et d'un point de la droite \((D)\) sont respectivement \((-4 ; 3)\) et \((1 ; 1)\). Donc le système \(\left\{ \begin{array}{l}
x = - 4k + 1\\ y = 3k + 1 \end{array} \right.\) avec \(k \in R\), est une représentation paramétriques de la droite \((D)\).
3. Déterminons la distance du point \(A(3; -3)\) à la droite \((D)\).
Cette distance est égale à : \(\frac{{\left| {3 \times 3 + 4\left( { - 3} \right) - 7} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 2\)
4. Déduisons-en la position-de \((C)\) par rapport à la droite \((D)\). 0,5 pt
Le point A est le centre de \((C)\). La distance de A à \((D)\) est inférieure au rayon de \((C)\), donc \((C)\) et \((D)\) sont sécants en deux points.
5. Construisons \((C)\) et \((D)\). 0,75 pt

Exercice 4 / 4 points

l. 1. Étudions les variations de \(f\) et dressons son tableau des variations.
• La fonction \(f\) est dérivable sur \(R - \left\{ {\frac{3}{2}} \right\}\). Pour tout \({x \ne \frac{3}{2}}\) et \(f'(x) = \) \(\frac{{4{x^2} - 12x + 12}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}\) et \(f'(x) \succ 0\)
Donc la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\left] { - \infty ;\frac{3}{2}} \right[\) et sur \(\left] {\frac{3}{2}; + \infty } \right[\)
• Le tableau des variations de \(f\) est :
i. 2. Déterminons le réel \(c\) tel que \(f(x) = x - \frac{3}{2} + \) \(\frac{c}{{x - \frac{3}{2}}}\) pour tout \({x \ne \frac{3}{2}}\) 0,25 pt
Par une division euclidienne, on obtient \(f(x) = x - \frac{3}{2} + \) \(\frac{{ - \frac{3}{2}}}{{x - \frac{3}{2}}}\)
Donc \({c = - \frac{3}{2}}\)
I.3. a) Démontrons que \((D)\): \(y = x - \frac{3}{2}\) est une asymptote oblique à \((C)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } [f(x) - y] = \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \frac{3}{4}}}{{x - \frac{3}{2}}} \to 0\) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [f(x) - y] = \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - \frac{3}{4}}}{{x - \frac{3}{2}}} \to 0\)
Donc \(y = x - \frac{3}{2}\) est une asymptote oblique à \((C)\).

I. 3. b) Etudions les positions; relatives de \((D)\) et \((c)\). 0,5 pt
Soit un réel \({x \ne \frac{3}{2}}\), \(f(x) - y = \frac{{ - \frac{3}{4}}}{{x - \frac{3}{2}}}\)
Ainsi, \(f(x) - y \succ 0\) pour \(x \in \left] { - \infty ;\frac{3}{2}} \right[\); et \(f(x) - y \prec 0\) pour \(x \in \left] {\frac{3}{2}; + \infty } \right[\)
Donc \((C)\) est au dessus de \((D)\) sur \(\left] { - \infty ;\frac{3}{2}} \right[\) et \((C)\) est en dessous de \((D)\) sur \(\left] {\frac{3}{2}; + \infty } \right[\).
l. 4. Construisons soigneusement \((D)\) et \((C)\). 0,75 pt
II. 1. Donnons la matrice \(M(a, b)\) de \(g\) dans la base \(B\). 0,25 pt
\(M(a,b) = \) \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&{1 - a}\\ {b - 1}&{ - b} \end{array}} \right)\)
Il. 2. Déterminons une relation entre \(a\) et \(b\) pour que \(g\) soit un automorphisme.
\(g\) est un automorphisme, alors \(\det \left( {M(a,b)} \right) \ne 0\), donc \(a + b = 1\).
Il. 3.a) Déterminons le noyau de \(g\). 0,25 pt
Le noyau de \(g\) est \(\{ \overrightarrow u (x;y) \in E;\) \(ax + (1 - a)y \ne 0\} \) ou \(\{ \overrightarrow u (x;y) \in E;\) \((b - 1)x - by \ne 0\} \)
Il. 3. b) Déterminons la matrice de \(g \circ g\) 0,25 pt
\(M\left( {\frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right) \times \) \(M\left( {\frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right) = \) \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 0&0 \end{array}} \right)\)

Partie B : Évaluation des ressources / 7 points

Tâche 1 Déterminons le taux d'intérêt mensuel du prêt accordé aux membres de l'AEE.
• Déterminons une équation permettant d'obtenir ce taux.
Si t% désigne ce taux, alors, on a \(\frac{{{t^2}}}{{10000}} + \frac{{2t}}{{100}} + 1\) \( = 1 + \frac{{24}}{{100}}\) En effet, si \(S \) est une somme empruntée dans cette association, alors :
D'une part, les montants à rembourser seront respectivement de \(S \times \left( {1 + \frac{t}{{100}}} \right)\) et \(S \times \left( {1 + \frac{t}{{100}}} \right) + \) \(\frac{t}{{100}} \times S \times \left( {1 + \frac{t}{{100}}} \right)\) \( = S\) \(\left( {1 + \frac{{2t}}{{100}} + \frac{{{t^2}}}{{10000}}} \right)\) après le 1er et le 2ieme mois. Et d'autre part, de \(S \times \left( {1 + \frac{{24}}{{100}}} \right)\) pour les deux mois cumulés.
Donc \({t^2} + 200t - \) \(2400 = 0\) est une équation permettant d’obtenir ce taux.
• Déterminons ce taux d'intérêt.
Le discriminant de cette équation est égal à 49 600. D'où \(t = \frac{{ - 200 + \sqrt {49600} }}{2}\) \( = 11,355\)
Soit 11,35%.

Tâche 2 : Déterminons par ses coordonnées le point exact où sera construit le forage.
• Déterminons une équation permettant d’obtenir le point pour le forage.
Si \(F(x; y)\) est le point représentant le forage, alors \(F{A^2} + F{B^2} = 12\) avec \(x = -1\).
Ainsi \({(x + 2)^2} + {(y - 1)^2}\) \( + {(x - 2)^2} + \) \({(y - 3)^2} = 12\) avec \(x = -1\).
Donc \({y^2} - 4y + 4 = 0\)
• Déterminons les coordonnées du point représentant le forage.
L'équation \({y^2} - 4y + 4 = 0\) est équivalente à \({(y - 2)^2} = 0\), ainsi \(y = 2\).
Donc le point représentant le forage est de coordonnées \((-1 ; 2)\).

Tâche 3 : Déterminons le rang de l'année à laquelle le chiffre d'affaires de l’usine sera maximal et calculons ce chiffre d'affaire.
• Étudions les variations de c du chiffre d'affaires.
La fonction c est dérivable sur \(\left[ {0; + \infty } \right[\) et pout tout réel positif t, \(c'(t) = - 2t + 10\).
Donc la fonction c est croissante sur \(\left[ {0;5} \right]\) et décroissante sur \(\left] {5; + \infty } \right[\).
Ou bien, la forme canonique de \(c\) est \(c(t) = - {(t - 5)^2}\) \( + 33\)
• Déterminons le rang et calculons le chiffre d'affaires.
Ainsi la fonction \(c\) atteint son maximum pour \(t = 5\), soit donc 5 années après.
Et ce chiffre d'affaires est égal à \(c(5) = 33\), soit 33 000 000 FCFA.