Partie A : Évaluation des ressources (15 points)
EXERCICE 1 : (3,5 points)
On considère l’équation \((E)\): \((2{\cos ^2}x - (2 + \sqrt 2 )\) \(\cos x + \sqrt 2 )\) \((\sqrt 3 \cos x + \) \(\sin x - 1) = 0\) dans \(R\).
1. a) Vérifions que 1 et \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\) sont solutions de l’équation : \(2{x^2} - (2 + \sqrt 2 )x\) \( + \sqrt 2 = 0\). 0,5pt
\(2{1^2} - (2 + \sqrt 2 )(1)\) \( + \sqrt 2 = 0\). 1 est donc solution de cette équation. 0,25 pt
\(2{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} - (2 + \sqrt 2 )\) \(\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) + \sqrt 2 = 0\), \({\frac{{\sqrt 2 }}{2}}\) est donc solution de cette équation. 0,25 pt
1. b) Déduisons-en la résolution dans \(R\) de l’équation : \((2{\cos ^2}x - (2 + \sqrt 2 )\) \(\cos x + \sqrt 2 )\) \((\sqrt 3 \cos x + \) \(\sin x - 1) = 0\)
Il résulte que \({\cos x = 1}\) ou \({\cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}\), soit encore \(x = 2k\pi \) ou \(x = \frac{\pi }{4} + 2k\pi \)ou \(x = - \frac{\pi }{4} + 2k\pi \) avec \(k \in Z\) 1 pt
2. a) Montrons que \(\sqrt 3 \cos x + \sin x\) \( = 2\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\) 0,5 pt
\(\sqrt 3 \cos x + \sin x\) \( = 2\) \(\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x} \right)\) \( = 2\cos \left( x \right)\cos \frac{\pi }{6} + \) \(\sin \left( x \right)\sin \frac{\pi }{6} = \) \(2\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\)
2. b) Déduisons-en la résolution dans \(R\) de l’équation : \(\sqrt 3 \cos x + \) \(\sin x - 1 = 0\)
Cette équation équivaut à \(2\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) - 1 = 0\) ou encore à \(\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}\)
c'est-à-dire à cas \(\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \frac{\pi }{3}\)
On trouve \(x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi \) ou \(x = - \frac{\pi }{6} + 2k\pi \) avec \(k \in Z\)
2. c) Ensemble de solution de l’équation \((E)\) : 0,5 pt
\(\{ 2k\pi ;\frac{\pi }{4} + 2k\pi ;\) \( - \frac{\pi }{4} + 2k\pi ;\frac{\pi }{2} + 2k\pi ;\) \( - \frac{\pi }{6} + 2k\pi \} \)
Exercice 2 / 4 points
l. Calculons la note moyenne des candidats (que nous notons \(m\)). 0,5 pt
\(m = \) \(\frac{{42,5 \times 16 + ... + 80 \times 6}}{{80}}\) \( = \frac{{4375}}{{80}}\) \( = 54,6875\)
2. Calculons la médiane (que nous notons Me), de cette série par interpolation linéaire. 1 pt
\(Me \in \left[ {50,60} \right[\);\({E_{CC}}(Me) = 40\), \({E_{CC}}(50) = 36\), \({E_{CC}}(60) = 60\). Par interpolation linéaire,
On a : \(\frac{{Me - 50}}{{40 - 36}} = \frac{{60 - 50}}{{60 - 36}}\) ou encore \(Me = \frac{5}{3} + 50 = \) \(\frac{{155}}{3} \approx 51,66\)
3. a) Déterminons le nombre de groupes possibles que l’on peut former. 0,5 pt
Ce nombre est \(C_6^3 = 20\) soit 20 groupes.
3. b) Déterminons le nombre de groupes possibles comprenant au moins 2 femmes. 0,5 pt
Ce nombre est \(C_3^2C_3^1 + C_3^3C_3^0 = 10\), soit 10 groupes.
4. a) Dessinons le graphe permettant de modéliser la situation. 0,75 pt
4. b) Degré de chaque sommet de ce graphe. 0,5 pt
Le degré de chaque sommet est 3.
Exercice 3 3,5 pts
1. a construisons le triangle EFG et le point H. 0,5 pt
1.b Montrons que H est le barycentre des points pondérés \((E, e)\) et \((F, f)\) où \(e\) et \(f\) sont des réels à déterminer.
\(\overrightarrow {FH} = \overrightarrow {EF} \) équivaut à \(\overrightarrow {FH} = \overrightarrow {EH} + \overrightarrow {HF} \), c'est-à-dire à \(2\overrightarrow {FH} - \overrightarrow {EH} = \overrightarrow 0 \)
\(H\) est donc le barycentre de \((E, -1)\) et \((F, 2)\). Ainsi, on peut prendre \(e = -1\) et \(f = 2\). 0,75 pt
2. Montrons que \(\overrightarrow {MF} + \overrightarrow {MG} = \) \(2\overrightarrow {MI} \) et que \(2\overrightarrow {MF} - 2\overrightarrow {ME} \) \( = 2\overrightarrow {EF} \) 1pt
On a \(\overrightarrow {MF} + \overrightarrow {MG} = \) \(2\overrightarrow {MI} + (\overrightarrow {IF} + \overrightarrow {IG} )\) \( = 2\overrightarrow {MI} \) car \(\overrightarrow {IF} + \overrightarrow {IG} = \overrightarrow 0 \)
Et \(2\overrightarrow {MF} - 2\overrightarrow {ME} = \) \(2(\overrightarrow {EM} + \overrightarrow {MF} ) = \) \(2\overrightarrow {EF} \) car \(\overrightarrow {EM} + \overrightarrow {MF} = \overrightarrow {EF} \)
3. Déterminons |’ensemble (∑) des points M du plan tels que : \(\left\| {\overrightarrow {MF} + \overrightarrow {MG} } \right\| = \) \(\left\| {2\overrightarrow {MF} - 2\overrightarrow {ME} } \right\|\)
\(M \in \left( \Sigma \right)\) équivaut à \(MI = EF\). \(\left( \Sigma \right)\) est donc le cercle de centre I et de rayon \(EF = 5\).
-Pour la construction, voir figure.
Exercice 4 : 4,25 points
1. a) L’ensemble de définition est : \(\left] { - \infty ; - 1} \right[ \cup \left] { - 1; + \infty } \right[\) 0,25 pt
1. b) Les limites de f en \({ - \infty }\) et en \(-1\) :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - \infty \) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) = - \infty \)
1. c) Une équation de l'asymptote verticale à la courbe \((Cf)\). 0,5 pt
Une équation est : \( x = -1\).
1.d) Valeur de \(f(-2)\) , \(f(0)\) et \(f’(0)\) : 0,75 pt
\(f(-2) = -3\) . \(f(0) = 1\) et \(f’(0) = 0\)
1.e) Sens de variations de \(f\) sur \(\left] { - \infty ; - 2} \right[\)
\(f\) est croissante sur \(\left] { - \infty ; - 2} \right[\)
2.a) Montrons que \(a = 1\); \(b = 0\) et \(c = 1\).
\(f( - 2) = - 2a\) \( + b - c = - 3\)
\(f(0) = b + c = 1\)
\(f'(0) = a - c = 0\)
En résolvant ce système, on obtient \(a = 1\); \(b = 0\) et \(c = 1\).
2.b) Montrons que la droite \((D)\) d'équation \(y = x\) est asymptote à \((Cf)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (f(x) - x)\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{x + 1}} = 0\). Ainsi, la droite \((D)\) d'équation \(y = x\) est asymptote à \((Cf)\). 0,75 pt
3. Calculons \(f'(x)\) pour tout \(x\) de l’ensemble de définition. 0,5 pt
Pour tout \(x \in \left] { - \infty ; - 2} \right[ \cup \) \(\left] { - 1; + \infty } \right[\)
\(f'(x) = 1 - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) \( = \frac{{x(x + 2)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
Partie B : Évaluation des compétences / 5 points
1. Calculons le nombre de fondateurs de cette coopérative
Soit \(n\) le nombre de membres fondateurs de cette coopérative
On a \(\frac{{500000}}{n} = \) \(\frac{{500000}}{{n + 1}} + 12500\) avec \(n \succ 0\)
Ce qui donne 500000(n + 2) = 500000n + 12500n(n + 2)
Et après simplification, \({n^2} + 2n - 80 = 0\) D'où \(n = 8\).
Il y a donc 8 membres fondateurs pour cette coopérative.
2. Voyons si les membres de la coopérative pourront payer la voiture à la fin du 9ème mois.
Soit un le montant total (en FCFA) cotisé le n-ième mois par les membres. On a \({u_1} = 500000\) et \({u_{n + 1}} = {u_n} + 0,05{u_n}\) \( = 1,05{u_n}\)
Au 9e mois la somme totale (cotisée depuis le début) est donc:
\({u_1} + {u_2} + ...{u_9}\) \( = {u_1}\frac{{1 - {{(1,05)}^9}}}{{1 - 1,5}}\) qui vaut 5513282,159 FCFA.
Comme 55132824 59 plus grand que 5000000, alors les membres de cette coopérative pourront acheter cette voiture.
3. Calculons le plus petit montant possible que les membres de la coopérative pourront payer pour clôturer ce terrain.
Soient \(x\) la largeur de ce terrain et y sa longueur en m.
La partie à clôturer a pour longueur \(d = 2x + y\).
L'aire de ce terrain en m2 est \(xy = 5000\).
D'où \(d = 2x + \frac{{5000}}{x}\)avec \(x \succ 0\), \(D(x) = 2x + \frac{{5000}}{x}\).
On a \(D'(x) = 2 - \frac{{5000}}{{{x^2}}}\)
\(D\) est donc décroissante sur \(\left] {0;50} \right]\) et croissante sur \(\left[ {50; + \infty } \right[\). Le min de \(D\) est \(D(50) = 200\) (plus petite valeur possible de \(d\)).
200x 5000 FCFA = 1000000 FCFA.
Le plus petit montant possible qu’ils peuvent payer est : 1000000 FCFA.
Présentation 0,5 pt
