Exercice 3 : Problème Epreuve de mathématique au baccalauréat D et TI 2014
Problème (11points)
Le problème comporte trois parties A,B, et C obligatoires.
On considère la fonction numérique de la variable réelle x définie pour tout x≠−2 par :
f(x)=exx+2.
On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormée (O,→i,→j).
A ) ( 4,5points)
1° Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine de définition. 1 pt
2° Étudier les variations de f et dresser son tableau de variation. 1 pt
3° Soit g la restriction de f à l'intervalle I=]−1,+∞[; montrer que g réalise une bijection de I sur un intervalle J que l'on déterminera. 1 pt
4° Tracer dans le même repère, la courbe ( C) représentative de f. et la courbe (C') représentative de g−1 1,5 pt
B ) ( 2,5points)
1° Déterminer l'image par f de l'intervalle [0,1]. 0,5pt
2° Calculer f ”(x) et vérifier que pour tout x de [0,1], f″(x)≻0. 0,5pt
3° En déduire que pour tout x de [0.1] 14≤f′(x)≤23 1 pt
4° Démontrer que l'équation f(x) = x admet une solution unique α dans l'intervalle [0,1] (On ne demande pas de calculer α ). 0,5pt
C ) (4 points)
On considère la suite (un) à termes positifs, définie par u0=12 et pour tout entier naturel non nul n, un+1=f(un).
1° Montrer par récurrence sur n que la suite (un) est croissante et que un∈[12,1]; quelle conclusion peut-on en tirer ? 1,25 pt
2° Démontrer que pour tout entier naturel n, on a :
|un+1−α|≤23|un−α| 1,25 pt
3° En déduire que pour tout entier naturel n, |un−α|≤(23)n 1 pt
4° Déterminer la limite de la suite (un). 0,5pt