Cette épreuve est constituée de 3 exercices et d'un problème que chaque candidat traitera obligatoirement.
Exercice 1 : Epreuve de mathématique au baccalauréat C et E 2014
Exercice I (3 Points) .
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct \((O,\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k )\), on considère les points A(1;-1;0)-;B(3;0;1);C(1;2;-1) et D(1;0;0)._
1. Démontrer que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires. 0,5 pt
2.a) Écrire une équation cartésienne du plan (ABC). 0,5 pt
b) Calculer le volume du tétraèdre ABCD. 0.75 pt
c) Déterminer l'expression analytique de la réflexion f par rapport au plan (ABC). 0,75 pt
3. Soit (S) la sphère de centre D passant par B.
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l'image (S’) de S par f. 0,5pt
Exercice 2 : Epreuve de mathématique au baccalauréat C et E 2014
EXERCICE 2 (4,5 points)
1. On considère les équations différentielles suivantes :
\((E):y'' - 4y' + 4y\) \( = 2\cos x + \sin x\)
\(({E_0}):y'' - 4y'\) \( + 4y = 0\)
a) Déterminer les réels a et b pour lesquels la fonction g définie pour tout réel x par :
\(g(x) = a\cos x + b\sin x\) est solution de (E). 0.5 pt
b) Soit f une fonction 2 fois dérivable sur IR. Montrer que f est une solution de (E) si et seulement si \(g - f\) est solution de (E0). 0,5pt
c) Résoudre (E0) et en déduire la forme générale des solutions de (E). 0,75pt
2 Soit la fonction h définie dans \(\left[ {0,\pi } \right[\) par :
\(h(x) = \) \(\frac{2}{5}\cos (x) - \frac{1}{5}\sin (x)\)
On désigne par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\overrightarrow i ,\overrightarrow j )\).
a) Calculer pour tout x de \(\left[ {0,\pi } \right[\), \(h'\) et \(h''\) 0,5pt
b) Étudier les variations de \(h'\) sur \(\left[ {\frac{\pi }{2},\pi } \right[\) et en déduire que l'équation h'(x) = 0 dans \(\left[ {\frac{\pi }{2},\pi } \right[\) admet une unique solution \(\alpha \) avec \(2,6 \prec \alpha \prec 2,7\) 0,75pt
c) Montrer que \(h'(x) \succ \Leftrightarrow x \in \left] {\alpha ,\pi } \right[\) et dresser le tableau de variation de h. 0.75pt
d) Tracer (C).- (Prendre \(\alpha = 2,6\) et pour unité de longueur sur les axes : 1.5 cm). 0,75 pT
Exercice 3 Epreuve de mathématique au baccalauréat C et E 2014
EXERCICE 3 (2,5 points) .
1. Soit a un réel strictement positif,
a) Montrer que : \(1 - a \prec \frac{1}{{1 + a}} \prec 1\) 0,5pt
b) En déduire que : \(a - \frac{{{a^2}}}{2} \prec \ln (1 + a) \prec a\) 0,25 pt
.2. Soit n un entrer naturel.non nul, on pose : \({P_n} = \left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\) \(\left( {1 + \frac{2}{{{n^2}}}} \right)...\left( {1 + \frac{n}{{{n^2}}}} \right)\)
a) Justifier que :
\({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2}\) \( = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\)
b) Montrer que :
\(\frac{1}{2}\left( {1 + \frac{1}{n}} \right) - \) \(\frac{1}{{12}}\frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{{{n^3}}} \prec \) \(\ln {P_n} \prec \frac{1}{2}\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)\). 0,75pt
c) En déduire que la suite (Pn) converge et déterminer sa limite. 0,5pt
Problème Epreuve de mathématique au baccalauréat C et E 2014
PROBLEME (10 points)
Dans le plan (P) rapporté à un repère orthonormé d'origine O. on considère l'application \(\psi \) définie par : \(\psi (O) = O\) et pour tout point M de (P) distinct de O. \(\psi (M) = M'\) tel que :
\(\overrightarrow {OM'} = \frac{4}{{O{M^2}}}\overrightarrow {OM} \)
PARTIE A (6 points)
1.a) Montrer que pour tout point M de (P). \(\psi o\psi (M) = M\) 0.75 pt
b) Justifier que l'ensemble des points M de (P) distincts de O tels que \(\psi (M) = M\) est le cercle de centre O et de rayon 2. 0.75 pt
Pour toute la suite, (d) est une droite quelconque de (P), D est un point fixé de (d) distinct de O ; \(\overrightarrow u \) est un vecteur directeur de (d). On pose \(\overrightarrow {{e_2}} = \frac{{\overrightarrow u }}{{\left\| {\overrightarrow u } \right\|}}\) et on suppose le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\overrightarrow {{e_1}} ,\overrightarrow {{e_2}} )\). On donne \(\overrightarrow {OD} = a\overrightarrow {{e_1}} + b\overrightarrow {{e_2}} \)
2. Justifier que (d) est l'ensemble des points M d'affiixe z tels que \(z = a + it\) où \(t \in \mathbb{R}\). 0,5pt
3. Soient M et M’, 2 points de (P) tous distincts de O et d’affixes respectifs z et z‘.
a) Montrer que \(\psi (M) = M' \Leftrightarrow z' = \frac{4}{z}\) 0.75pt
b) En posant \(\overrightarrow {OM} = a\overrightarrow {{e_1}} + t\overrightarrow {{e_2}} \) et \(\overrightarrow {OM'} = x'\overrightarrow {{e_1}} + y'\overrightarrow {{e_2}} \)
Montrer que \(\psi (M) = M'\) \( \Leftrightarrow x' = \frac{{4a}}{{{a^2} + {t^2}}}\) et \(y' = \frac{{4t}}{{{a^2} + {t^2}}}\). 0.75pt
c) Vérifier que dans ce cas, \({\left( {x' - \frac{2}{a}} \right)^2} + y{'^2} = \frac{4}{{{a^2}}}\) 0,5pt
d) En déduire que si M appartient à (d), alors \(\psi (M)\) appartient au cercle (C1) de diamètre \(\left[ {OH'} \right]\) où H’ est l'image par \(\psi \) du projeté orthogonal H de O sur (d). 1 pt
4. Soit h l'application affine qui à tout point M(x ; y) associe \({M_1}({x_1};{y_1})\) tel que :
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = x\\{y_1} = \frac{2}{3}y\end{array} \right.\)
3 Montrer que l'image de (C1) par h est une ellipse dont on donnera I 'excentricité. 1pt
PARTIE B (4 points)
Dans le plan vectoriel \((\overrightarrow P )\) associé à (P), on considère l'application \(\varphi \) telle que \(\varphi (\overrightarrow O ) = \overrightarrow O \) et \(\varphi (\overrightarrow u ) = \frac{4}{{{{\left\| {\overrightarrow u } \right\|}^2}}}\overrightarrow u \) si \(\overrightarrow u \ne \overrightarrow O \)
1. Soit \(\overrightarrow v \) un vecteur non nul, exprimer \(\varphi \left( {\frac{4}{{{{\left\| {\overrightarrow v } \right\|}^2}}}\overrightarrow v } \right)\) en fonction de \({\overrightarrow v }\) et en déduire que \(\varphi \) n'est pas une application linéaire. 1pt
a) Déterminer l'ensemble \(Inv(\varphi )\) des vecteurs \(\overrightarrow u \) de \(\left( {\overrightarrow P } \right)\) tels que \(\varphi \left( {\overrightarrow u } \right) = \overrightarrow u \). 1pt
b) Soient \(\overrightarrow {{u_1}} \) et \(\overrightarrow {{u_2}} \) deux vecteurs de \(\left( {\overrightarrow P } \right)\) tels que \(\left\| {{{\overrightarrow u }_1}} \right\| = \left\| {{{\overrightarrow u }_2}} \right\| = 2\) et \(Mes(\widehat {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} }) = \frac{\pi }{3}\)
Calculer \(\left\| {\overrightarrow {{u_1}} + \overrightarrow {{u_2}} } \right\|\) et en déduire que \(Inv(\varphi )\) n'est pas un sous espace vectoriel de \(\left( {\overrightarrow P } \right)\). 1pt
3. Soit \(Opp(\varphi )\) l'ensemble des vecteurs \({{{\overrightarrow u }_1}}\) de \(\left( {\overrightarrow P } \right)\) tels que \(\varphi \left( {\overrightarrow u } \right) = - \overrightarrow {{u_1}} \).
Déterminer \(Opp(\varphi )\) et montrer que \(Opp(\varphi )\) est un sous-espace vectoriel de \(\left( {\overrightarrow P } \right)\). 1pt
