Évaluation des ressources. / 24 Points

Exercice 1 : Vérification des savoirs 8 Points

1. Définir :
• La radioactivité: c'est la décomposition (désintégration) spontanée de certains noyaux atomiques instables, suivie d'émissions de particules et d’un rayonnement.
• Fréquence seuil photoélectrique : c'est la valeur minimale de la fréquence que doit avoir une vibration lumineuse pour extraire un électron du matériau dont le travail d’extraction est $W0$.
• Satellite géostationnaire : c’est un satellite apparemment immobile pour un observateur situé sur le plan équatorial.
2. ${g_h} = \frac{{{R^2}{g_o}}}{{{{\left( {{R_T} + h} \right)}^2}}}$
3. Un signal est dit transversal lorsque la direction de déplacement de la perturbation est perpendiculaire à la direction de propagation du signal. 1 pt
4. Lois de décroissance radio active : le nombre de noyaux radioactifs d’un échantillon diminue exponentiellement en fonction du temps. 1 pt
5. Deux applications de la radioactivité. 1 pt
• Datation au carbone 14
• Le traitement des cancers par radiothérapie,
• Scintigraphie
6. Un mobile ponctuel M se déplace sur un axe $x’ox$ d’origine O. la loi horaire de son mouvement est : $x = 2 \times {10^{ - 2}}\cos \left( {40\pi t - \frac{\pi }{6}} \right)$
6.1 Nature du mouvement : mouvement de translation rectiligne sinusoïdale. 1 pt
6.2 Donner la signification de chacun des termes suivants : 1 pt
$2 \times {10^{ - 2}}$ :amplitude ou élongation maximale
${40\pi }$ pulsation
${ - \frac{\pi }{6}}$ Phase initiale
${40\pi t - \frac{\pi }{6}}$ Phase à l’instant $t$ quelconque

EXERCICE 2 : Application directe des savoirs et des savoir-faire (8 points)

1. Le condensateur

Aux borne d’un condensateur plan de capacité $C = 100nF$ on mesure une tension ${U_C} = 30mV$
1.1 Calculons l’énergie emmagasinée par le condensateur
$W = \frac{1}{2}C{U^2}$
AN : $W = 45 \times {10^{ - 12}}J$
1.2 Déterminons la charge du condensateur
$Q = UC = 3 \times {10^{ - 9}}C$
1.3 A l’aide de l’analyse dimensionnelle donner l’unité de la capacité
$C = \frac{Q}{U} \Rightarrow \left[ C \right] = \frac{{\left[ Q \right]}}{{\left[ U \right]}}$
${\left[ Q \right] = IT}$
${U = \frac{P}{I}}$ alors ${\left[ U \right] = \left[ P \right]{{\left[ I \right]}^{ - 1}}}$
$\left[ U \right] = \left[ P \right]{\left[ I \right]^{ - 1}} =$ ${L^2}M{T^{ - 3}}{I^{ - 1}}$
$P = \frac{{Fd}}{t}$
$\left[ F \right] = M{L^2}{T^{ - 2}}$
$\left[ C \right] = {L^{ - 2}}{M^{ - 1}}{T^4}{I^2}$
L’unité de la capacité est donc ${m^{ - 2}}k{g^{ - 1}}{s^4}{A^2}$ ?? $\frac{{{s^4}{A^2}}}{{{m^{ - 2}}k{g^{ - 1}}}}$

2. Radio activité :

Le polonium ${}_{84}^{210}Po$ est radioactif $\alpha$ et de période T = 138 jours.
2.1 L’équation de sa désintégration est
${}_{84}^{210}Po \to {}_2^4He + {}_Z^AY$
• Conservation du nombre de masse 210 =4+A ⟹ A= 210 –4= 216
• Conservation du nombre de charge 84=2+Z ⟹ Z= 84 –2= 82
D’où ${}_{84}^{210}Po \to {}_2^4He + {}_{82}^{216}Y$ , ???? $?$ ?? ????? ????
2.2 A la date $t = 0$, on dispose d’un échantillon pur de polonium 210 de masse ${m_0} = 10$ mg.
2.2.1 Déterminons le nombre ${N_0}$ d’atomes de Polonium présents dans cet échantillon.
$\left\{ \begin{array}{l}M \to \aleph \\{m_0} \to {N_0}\end{array} \right. \Rightarrow$ ${N_0} = \aleph \frac{{{m_0}}}{M}$ $= 2,86 \times {10^{19}}$ atomes
2.2.2 Son activité ${A_0}$ à l’instant initial ($t = 0$).
${A_0} = \lambda {N_0} = \frac{{\ln 2}}{T}{N_0}$ $= 1,67 \times {10^{ - 26}}Bq$
2.3 Masse m de Polonium subsiste-t-il dans l’échantillon à la date t = 30 jours $m = {m_0}{e^{ - \lambda t}} =$ $10{e^{ - \frac{{\ln 2}}{{138}} \times 30}} = 8,6mg$

3. Le pendule simple 3 Points

Un pendule simple est constitué d’un fil inextensible de masse négligeable et de longueur $ℓ = 25$ cm et d’une boule quasi-ponctuelle (B) de masse m = 50 g. Initialement vertical, on écarte le pendule de ${8^o}$ et on l’abandonne sans vitesse initiale. Les frottements sont négligeables. On repère la position du pendule par son abscisse angulaire $\theta$ par rapport à la verticale.
3.1 En appliquant le théorème du centre d’inertie à (B), établissons l’équation différentielle régissant le mouvement du pendule.
• Système étudie : solide B
• Force appliqué $\overrightarrow P$ et $\overrightarrow T$
• Référentiel d’étude : Terrestre supposé galiléen
• Théorème du centre d’inertie : $\overrightarrow P + \overrightarrow T = m\overrightarrow {{a_G}}$
En projetant suivant l’axe tangentiel du repère de Fresnel on a :
$- mg\sin \theta = m\frac{{dV}}{{dt}}$ $= m\frac{{d\left( {l\dot \theta } \right)}}{{dt}} = ml\ddot \theta$
$\ddot \theta + \frac{g}{l}\sin \theta = 0$
$\theta \prec {10^o} \Rightarrow \sin \theta \approx \theta$
D’où équation $\ddot \theta + \frac{g}{l}\theta = 0$ le mouvement est rectiligne sinusoïdal
3.2 On prend pour origine des dates l’instant où le pendule est abandonné à lui-même.
L’amplitude est $\theta = {8^o} = \frac{{2\pi }}{{45}}rad$ rad
phase initiale : $\theta (t) = {\theta _m}\cos (\omega t + \varphi )$ ?? à $? = 0$
$\theta (0) = {\theta _m}$
$\theta (0) = {\theta _m} \Rightarrow$ $\cos (\varphi ) = 1$ d’ou $\varphi = 0$
Loi horaire du mouvement du pendule. $\theta (t) = \frac{{2\pi }}{{45}}\cos (\sqrt {\frac{g}{l}} t)$ $= \frac{{2\pi }}{{45}}\cos (2\sqrt {10} t)$
3.3 Instant ${t_1}$ ou le pendule passe pour la première fois par sa position d’équilibre ${t_1} = \frac{1}{4}T = 0,25s$
$\dot \theta (0,25) = - \frac{{4\pi }}{{45}}\sqrt {10}$ $\sin (2\sqrt {10} \times 0,25) = - 0,024$
${v_1} = 0,024m/s$

Exercice 3 : Utilisation des savoirs (8 points)

1. La lumière 2 Points

Une source monochromatique F éclaire deux fentes fines ${F_1}$ et ${F_2}$, parallèles, distantes l’une de l’autre de 3mm . La source est sur la perpendiculaire au plan ${F_1}{F_2}$ et est équidistante de ${F_1}$ et ${F_2}$. On observe des interférences sur un écran E placé à D=3 m du plan de ${F_1}{F_2}$. La distance entre la 6e frange brillante située avant la frange centrale, et la 6e frange brillante située après la frange centrale est L =7,2mm.
1.1 La longueur d’onde de la radiation émise par F
$L = 12i = 12\frac{{\lambda D}}{a} \Rightarrow$ $\lambda = \frac{{La}}{{12D}} = 0,6\mu m$
1.2 On utilise maintenant une source lumineuse émettant simultanément deux radiations de longueur $\lambda = 0,55\mu m$ et ${\lambda _0} = 0,44\mu m$. Déterminons la distance ou se produit la 1 ère coïncidence entre les deux systèmes de franges
Distance $l$ par rapport à la frange centrale où se produit la première coïncidence $l = Ki = K'i'$ avec $i = \frac{{\lambda D}}{a}$ et $i' = \frac{{\lambda 'D}}{a}$
Alors $\frac{K}{{K'}} = \frac{{i'}}{i} = \frac{{\lambda '}}{\lambda } = \frac{{44}}{{55}}$ soient $\left\{ \begin{array}{l}K' = 55\\K = 44\end{array} \right.$
$l = 55i = 44i'$ $= 0,024m$

2. Mouvement d’un cascadeur 4 Points

2.1 La courbe de la figure 2 est une droite affine donc il existe $k \in \mathbb{R}$ tel que $a = k = \frac{{dv}}{{dt}} = cte$
Ainsi l’accélération est constante, $a$ étant la pente de la $a = \frac{{50}}{{10}} = 5$ m/s
2.2 Déterminons la distance parcourue par le motard lorsque celui-ci a atteint une vitesse de 160 km/h.
A partir du graphe 2 on détermine la durée : $v = 160km/h =$ $44,44m/s \Rightarrow t = 9s$
A partir du graphe 3 on détermine la distance à $t = 9s$, $d = 200m$
2.3 Sur le tronçon BC le mouvement du motard est rectiligne uniforme, car la vitesse est constante
2.4 Équation horaire : $x(t) = {v_B}t + {x_B}$ $\Rightarrow x(t) = 44,44t$
2.5 Temps mis pour parcourir la distance BC. $t = \frac{{BC}}{{{v_B}}} = \frac{{7,86}}{{44,44}} = 0,18s$
2.6 Le motard quitte le tremplin en C avec une vitesse ${v_C} = 160km/h$ pour atterrir au point D. L’origine des dates est choisie
à l’instant où le système quitte le point C.
2.6.1 Équations horaires du mouvement du motard dans le repère (O,i,j,k). 0.75 pt
Système étudié : le motard
Force appliqué le Poids
Référentiel d’étude : Terrestre supposé galiléen
TCI : $\overrightarrow P = m\overrightarrow {{a_G}}$ et en projetant cette relation suivant les différents axes,
$\overrightarrow {OM} \left| \begin{array}{l}x = (Vo\cos \alpha )t\\y = - 0,5gt2 + Vo\sin \alpha .t\end{array} \right.$
Avec $Vo = {V_C}$
2.6.2 Montrons que l’équation de la trajectoire est : $y = - 3,31 \times {10^{ - 3}}{x^2} + 0,51x$
A partir de l’équation horaire précédente, on a $t = \frac{x}{{Vo\cos \alpha }}$ et en placant $t$ dans la deuxième expression, on
$y(x) = - \frac{g}{{2V_0^2\cos {\alpha ^2}}}$ $+ x\tan \alpha$
Ainsi $y = - 3,31 \times {10^{ - 3}}{x^2} + 0,51x$
2.6.4 Déterminons la distance $CD$ , $y(x) = = 0$ soit $- 3,31 \times {10^{ - 3}}{x^2} + 0,51x = 0$ ainsi $x = 154,51$ m

3. Les circuits RLC 2 Points

Un générateur entretient entre ses bornes une tension alternative de fréquence 50 Hz et de valeur efficace 24 V. On monte en série entre ses bornes une bobine de résistance R = 80 Ω et un ampèremètre. L’ampèremètre indique I 1 = 100 mA.
3.1 l’impédance de la bobine
$Z = \frac{U}{{{I_1}}} = \frac{{24}}{{0,1}} = 240\Omega$
3.2 L’inductance de la bobine
$Z = \sqrt {{R^2} + {{(L\omega )}^2}} \Rightarrow$ $L = \frac{1}{\omega }\sqrt {{Z^2} - {R^2}} = 0,721H$
3.3 On monte maintenant entre ses bornes, toujours en série, un condensateur et le même ampèremètre. L’ampèremètre indique alors un ${I_2} = 80mA$.
3.1 Capacité du condensateur
${U_C} = \frac{{{I_2}}}{{C\omega }} = 10\mu F$
3.2 Différence de phase entre la tension et le courant
$\tan \varphi = \frac{{L\omega - \frac{1}{{C\omega }}}}{R}$ $= - 1,151 \Rightarrow \varphi = - {49^o}$

Évaluation des compétences 16 Points

1. Protocole expérimentale
• La cellule photoélectrique est éclairée par la source de laser monochromatique de fréquence variable ;
• Le générateur de tension variable E permet de contrôler le mouvement les électrons (extraits de la cathode C par la source de laser monochromatique) entre la cathode C et l’anode A ;
• Le micro-ampèremètre permet de détecter le passage d’un courant entre la cathode et l’anode (i.e. le nombre d’électrons qui arrivent à l’anode par unité de temps) ;
• Le voltmètre monté aux bornes de la cellule mesure à chaque fois la tension du seuil photoélectrique (${U_{AC}} = - {U_0}$ avec ${U_0}$, le potentiel d’arrêt) de la cellule. Les résultats sont consignés dans un tableau.
Le schéma du dispositif expérimental est le suivant :
2. Il est question ici d’utiliser les données expérimentales pour identifier le métal à utiliser durant l’expérience de chimie. Pour cela nous devons
• Tracer le graphe ${U_0} = f(v)$
• Identifier la fréquence seuil à partir du graphe
• Déterminer l’élément correspondant dans le tableau
• Conclure
• Tracer du graphe
Echelle : 1 cm pour 0,1 V ; 1 cm pour $1 \times {10^{14}}Hz$
${U_{AC}} = - {U_0}$, ainsi, certains électrons émis par la cathode avec une vitesse maximale, arrivent à l’anode avec une vitesse nulle. La conservation de l’énergie du rayonnement $E = {E_0} + {E_{C\max }}$ avec $E$ est l’énergie du rayonnement incident ; ${E_0}$, l’énergie du seuil photoélectrique et ${E_{C\max }} = e{U_0}$) conduit à : ${U_0} = \frac{h}{e}\left( {v - {v_0}} \right)$
Pour ${U_0} = 0$, on a : ${v = {v_0}}$
On obtient alors à partir de la courbe de Millikan ${U_0} = f(v)$ ci-dessus la valeur de la fréquence seuil ${{v_0} = 5,38 \times {{10}^{14}}Hz}$
Conclusion : D’après le tableau des métaux et de leur fréquence seuil photoélectrique ( ?? ) nous pouvons déduire que le métal à utiliser durant l’expérience de chimie est le potassium.