A-Évaluation des ressources 15pts

Exercice 1 : 4pts

1. On considère l’équation (E) \((E):{k^3}{e^{i3\theta }} + 2(5 - \) \(2i){k^2}{e^{i2\theta }} - 2(4 + 23i)k{e^{i\theta }}\) \( - (8 - 27i) = 0\)
d’inconnue \(k{e^{i\theta }}\) dans l’ensemble \(\mathbb{C}\).
a) Montrer que \(2{e^{i0}}\) est une solution de \((E)\). 0,5pt
b) Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation (donner la réponse sous forme algébrique). 0,75pt
2. Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct \((O,\overrightarrow {{e_1}} .\overrightarrow {{e_2}} )\), on considère les points \(?\), \(?\) ?? \(?\) , d’affixe respectives : \(? = 2\); \(? = −1 + 5?\) ?? \(? = −11 – ?\) , et on désigne par \(?\) la similitude plane directe qui transforme \(?\) ?? \(?\) ?? \(?\) ?? \(?\) .
a) Montrer que ??? est un triangle rectangle en B 0,5pt
b) \(\left( \Gamma \right)\) désigne le cercle circonscrit au triangle ??? . Déterminer l’affixe du centre ? et le rayon ? ?? \(\left( \Gamma \right)\). 0,5pt
c) Donner l’écriture complexe de la similitude ? et ses éléments caractéristiques. 1,25pt
d) En déduire l’affixe du centre ? du cercle \(\left( {{\Gamma _0}} \right)\) dont l’image par \(?\) est le cercle \(\left( \Gamma \right)\). 0,5 pt

Exercice 2 6pts

1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(\ln (2x + 8) - \ln (3x + 2)\) \( = \ln (x + 1)\) 1pt
2. On donne les nombres \(I = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {(2x + 1){{\cos }^2}xdx} \) et \(J = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {(2x + 1){{\sin }^2}xdx} \)
a. Calculer \(? + ?\) 0,5 pt
b. calculer \(? – ?\) 0,5pt
c. En-déduire le calcule de ? et ? 0,75pt
3.a. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation différentielle :(E ) : \(y'' + 4y' + 4y = 0\) 0,75pt
b. Déterminer les nombres réels \(a\) et \(b\) de sorte que la fonction \(?\) définie par \(?(?) = ?? + ?\) soit solution de l’équation différentielle \((E’)\) ∶ \(y'' + 4y' + 4y = - 4x\)
c. Démontrer qu’une fonction \(?\) est solution de \((E ‘)\) : ?’’ + 4?’ + 4? = −4? si et seulement si \(? – ?\) est solution de (E). 1pt
d. En déduire la solution \(?\) de \((E’)\) telle que \(?(0) = 2\) et \(?(0) = −2\).0,75pt

Exercice 3 5pts

On considère la fonction numérique d’une variable réelle \(?\) définie par \(f(x) = \ln \left| {\frac{x}{{x + 1}}} \right|\) on désigne par \(\left( {Cf} \right)\) sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé \((O,I,J)\) d’unité 1cm sur les axes.
1.Montrer que l’ensemble de définition de \(?\) \(Df = \left] { - \infty ; - 1} \right[ \cup \) \(\left] { - 1;0} \right[ \cup \left] {0; + \infty } \right[\) 0,5pt
2. Calculer les limites de \(f \)aux bornes du domaine de \(Df\) 1,5pt
2. a. Justifier que la fonction est dérivable sur \(Df\) et que \(\forall x \in Df\), \(f'(x) = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}\) 0,5pt
b. Dresser le tableau de variation de la fonction \(?\) , \(Df\) 0,75pt
3. Dans le repère précisé ci-dessus construire la courbe de la fonction \(?\) . 1pt
4.a. \(\forall x \in \left] {0; + \infty } \right[\),\(f(x) = \ln x - \ln (x + 1)\) vrai ou faux ? 0,25pt
b. \(\forall x \in \left] {0; + \infty } \right[\), Calculer \(?’(?)\) pour \(g(x) = x\ln x - \) \((x + 1)\ln (x + 1) + 1\) 0,5pt
5. Déterminer l’aire \(\mathbb{A}\) domaine \(?f\) du plan délimité par la courbe \(Cf\), l’axe des abscisses et les droites d’équation \(? = 1\) et \(? = 2\) . 1pt

B- Évaluation des compétences 5pts

Situation
M. Rasbéto possède deux terrains dans sa localité de Salak banlieue de Maroua de la Région de l’Extrême-Nord. Il voudrait clôturer le premier avec trois tours bien tendu de fil barbelé pour protéger ses cultures des bêtes qui errent souvent dans la zone. Sur le marché, ce type de fil barbelé n’est vendu qu’en rouleau de 7,5 ? à raison de 2500? ??? l’un. Le deuxième est situé au bord du mayo-kaliao sur lequel il doit cultiver les oignons. Dans la zone le mètre carré de terre produit environ le septième du sac d’oignons et le sac coûte environ 13000F en période de récolte.
A cause du sol très accidenté ne permettant pas du tout de pouvoir mesurer directement les dimensions, Rasbéto fait appel à un géomètre qui à l’aide de son télémètre, lui a ramené un document comportant des informations complexes à partir desquelles on peut déduire les dimensions des domaines :
Le premier terrain est de forme carré dont le côté est six fois le module de la solution de l’équation (E) : \(z + (3 - 4i)\overline z = 4 - 8i\)
La rive du deuxième terrain est assimilable à la courbe de la fonction r définie par \(r(x) = (2x + 1){e^{2x - 4}} + 1\) positive dans l’intervalle [0; 2] dans repère orthonormé d’unité 5m.
Ce monsieur a pour projet d’acheter une voiture d’un montant de deux million huit cent mille
F CFA mais ne possède qu’une somme d’un million quatre cent mille F CFA. Il décida donc de la placer en compte bloqué dans une banque dont le taux d’intérêt serait favorable pour lui permettre d’avoir cette somme nécessaire après exactement dix ans.

Tâches
Tâche 1 : Déterminer somme que Rasbeto pourrait avoir après la vente de ses oignons pour une saison de culture. 1,5pt
Tâche 2 : Déterminer le coût de la quantité de fil barbelé à acheter par M. Rasbéto pour clôturer le deuxième terrain. 1,5pt
Tâche 3 : Déterminer le taux d’intérêt de la banque qui permettra à M.Rasbeto d’acheter sa voiture après exactement le temps voulu. 1,5pt
Présentation 0,5pt