Partie A : Évaluation des ressources (10 points)

Activités numériques (5 points)

Exercice 1 : (2,5 points)

1. Un groupe d’enfants se partage équitablement 3 007 oranges et 2 813 pamplemousses.
a) Trouve le nombre maximal d’enfants faisant partie de ce groupe. 0.75pt
b) Combien d’oranges puis de pamplemousses chaque enfant du groupe a-t-il reçu ? 0.5pt
2. Écris le nombre \({\left( {2 + \sqrt 5 } \right)^2} - 3\sqrt {20} \) sous la forme \(a + b\sqrt 5 \) où \(𝑎\) et \(𝑏\) sont des entiers. 0.75pt
3. Relève le numéro de cette question suivi de la lettre choisie correspondant à réponse juste.
L’ensemble des solutions de l’équation \({\left( {2x - 6} \right)^2} = 0\) est :
a) \(S = \left\{ 3 \right\}\);
b) \(S = \left\{ { - 3;3} \right\}\);
c) \(S = \left\{ { - \frac{3}{2};\frac{3}{2}} \right\}\) ;
d) \(S = \left\{ { - \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right\}\) 0.5pt

Exercice 2 : (2.5 points)

1. Développe, réduis et ordonne le polynôme \(4{x^2} - (2x + 1)( - x + 1)\) 0.75pt
2. Prouve que l’application linéaire donnée par \(𝑓(𝑥) = −3𝑥\) est décroissante. 0.25pt
3. Calcule la taille moyenne des données statistiques du tableau ci-dessous. 0.5pt

4. Résous par substitution dans \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\) le système d’équations : \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 36\\4a + 2b = 90\end{array} \right.\) 1 pt

Activités géométriques (5 points)

Exercice 1 : (2.75 points)

Sur le schéma ci-contre,
\(𝑃𝑄𝑅\) est un triangle équilatéral de 6 𝑐𝑚 de côté ; la droite \((𝐷)\) est perpendiculaire à la droite \((𝑃𝑅)\) .
1.a) Place le point d’intersection \(F\) des droites \((𝑃𝑄) \) et \((𝐷)\) . 0.25pt
b) Montre que \(\cos \widehat {FPR} = \frac{1}{2}\) 0.25pt
c) Déduis-en que \(𝑄 \) est le milieu du segment \([𝑃𝐹 ]\). 0.25pt
2. La perpendiculaire à la droite \((𝐹𝑅)\) en \(E\) passant par \(Q \)coupe au point \(K\) le demi-cercle de diamètre \([𝑃𝐹]\) contenant le point \(R\).
a) Montre que \( (𝑄 𝐾)\) est la médiatrice du segment \( [𝐹𝑅 ]\). 0.5pt
b) Calcule la longueur \(𝐹𝑅\) . 0.5pt
c) Recopie et complète le tableau suivant : 0.5pt

d) Déduis-en que le quadrilatère \(𝑄𝐹𝐾𝑅\) est un losange. 0.5pt

Exercice 2 : (2.25 points)

On considère un triangle équilatéral ABC de centre O et de côté 9 cm.
On désigne par E, F, G, H, I et J les points des trois côtés de ce triangle tels que AE = BF = BG = CH = CI = AJ = 3cm comme l’indique la figure suivante.
1. Montre que JE=GH=3 cm et que (JE)//(GH). 0.75pt
Et de manière analogue, on accepte que FG = IJ = 3 cm et IH = EF = 3 cm.
2. Montre que \((OA)\) est la médiatrice des segments [JE] et [GH]. 0.75pt
Et de manière analogue, on accepte que (OB) est la médiatrice des segments \([FG]\) et \([IJ]\) et que \((OC)\) est la médiatrice des segments \( [IH]\) et \([EF]\).
3. Déduis-en que le polygone \(EFGHIJ\) est inscriptible dans un cercle. 0.5pt
4. Déduis de 1) et 3) la nature exacte du polygone EFGHIJ. 0.25pt

Partie B : Évaluation des compétences (10 points)

Situation :
Lors de la construction de la route reliant Maroua et Mora, deux villes de la région de l’Extrême-Nord au Cameroun, deux camions-bennes quittent au même moment un lieu B de la ligne de chaussée à revêtir pour aller ramasser un tas de graviers assimilable à un cône de révolution de 14 m de diamètre et 21 m de hauteur dans une carrière située à un endroit A pour revenir déposer au lieu B.
Le camion-benne n°1 se déplace à la vitesse moyenne de 60km/h tandis que le camion-benne n°2 roule à la vitesse moyenne de 50km/h. Ces vitesses ont été calculées en incluant le temps de chargement et déchargement.
Et chaque benne des camions a les caractéristiques suivantes : 8 m sur 2,5 m de surface de base et 3 m de hauteur.
Zède ayant exploité une carte de la région de l’Extrême-Nord dans laquelle sont placés dans un repère orthonormé d’unité un kilomètre, les points A et B, conclut que la carrière est à une demi-dizaine de kilomètres de lieu de revêtement de la chaussée. Les schémas ci-contre illustrent ces situations.
Prendre \(\pi = \frac{{22}}{7}\)

Tâches :
1. Détermine le nombre de tours réunis qu’auraient fait les deux camions-bennes pour terminer de ramasser le tas de graviers. 3 pts
2. Montre que Zède a raison. 3 pts
3. Détermine le temps mis pour lequel les deux camions-bennes pourraient pour la première fois, verser au même moment du gravier au lieu de revêtement de la chaussée. 3 pts
Présentation : 1 pt