Partie A: Évaluation des ressources 15 points

Exercice 1 : 5 points

Soit \( ℎ\) et \(𝑘\) les fonctions définies de \(\left] {0; + \infty } \right[\) vers \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = {(x + 1)^2} - \) \(2 - \ln (x + 1)\) et \(k(x) = - 1 + \) \(\sqrt {2 + 2\ln (x + 1)} \). \(({u_n})\) la suite définie par \(\left\{ \begin{array}{l}{u_0} = 2\\{u_{n + 1}} = k({u_n})\end{array} \right.\).
1) Dresser le tableau des variations de \(ℎ\) . 0,75pt
2) Montrer que l’équation \(ℎ(𝑥) = 0\) est une unique solution \(\alpha \) telle que \(\alpha \in \left] {0;1} \right[\). 0,5pt
3) Justifier que \(k(\alpha ) = \alpha \). 0,25pt
4) Démontrer que pour tout \(x \in \left] {0; + \infty } \right[\), \(k(x) \ge \sqrt 2 - 1\) et \(0 \le k'(x) \le \frac{1}{{\sqrt 2 }}\). 0,5pt
5) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(𝑛\), \({u_n} \ge 0\). 0,25pt
6) Montrer par récurrence que la suite \({({u_n})_{n \in \mathbb{N}}}\) est décroissante. 0,25pt
7) Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(\left| {{u_{n + 1}} - \alpha } \right| \le \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left| {{u_n} - \alpha } \right|\) 0,5pt
8) En déduire que pour tout entier naturel, \(\left| {{u_n} - \alpha } \right| \le 2{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^n}\) 0,5pt
9) Montrer que la suite \(({u_n})\) est convergente et déterminer sa limite. 0,5pt

Exercice 2 : 5 points

A- Dans l’espace orienté muni d’un repère orthonormé direct \(\left( {O;\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k } \right)\), on donne les points \(𝐴(1; 1; −2)\), \(𝐵(3; 0, 0)\) et \(𝐶(−1; 0; −2)\) . On note \((𝑃)\) le plan passant par les points \(𝐴\), \(𝐵\) et \(𝐶\). On note \(𝑓\) l’application qui à tout vecteur \(\overrightarrow u \), associe \(f(\overrightarrow u ) = \overrightarrow {AB} \wedge \overrightarrow u \).
1) Déterminer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow n = \overrightarrow {AB} \wedge \overrightarrow {AC} \) dans le repère \(\left( {O;\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k } \right)\). 0,75pt
2) Montrer que \(𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 − 3 = 0\) est une équation cartésienne de \((𝑃)\). 0,75pt
3) Déterminer une équation cartésienne de la sphère de centre \(𝑂\) , tangente au plan \((𝑃)\). 1pt
4) Déterminer 𝑘𝑒𝑟𝑓 et en déduire la dimension de 𝐼𝑚𝑓. 0,5pt
5) Déterminer l’expression analytique de \(𝑓\). 0,5pt
6) Déterminer une équation cartésienne de 𝐼𝑚𝑓 . 0,5pt
B- Déterminer la solution \( 𝑓\) sur \(\mathbb{R}\) de l’équation différentielle : \(\frac{1}{2}y'' + y' + y = 0\) qui vérifie \(𝑓′(0) = 1\) et \(𝑓(0) = −2\) . 1pt

Exercice 3 : 5 points

I- On considère les intégrales \(I = \int_0^\pi {{e^x}{{\cos }^2}xdx} \), \(J = \int_0^\pi {{e^x}{{\sin }^2}xdx} \) et \(K = \int_0^\pi {{e^x}\cos 2xdx} \)
1) A l’aide d’une double intégration par parties, montrer que \(K = \frac{{{e^\pi } - 1}}{5}\). 1pt
2) Calculer \(𝐼 + 𝐽\). 0,5pt
3) Montrer que \(𝐼 − 𝐽 = 𝐾\) . 0,25pt
4) En déduire \(𝐼\) et \(𝐽\) . 0,5pt
II- On considère la transformation \(𝐹\) du plan complexe d’écriture \(z' = az + b\) et \((𝐶)\) la conique d’équation \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). On lance deux fois de suite et de manière indépendante un dé tétraédrique équilibré dont les faces portent les nombres complexes \(𝑖\), \(−𝑖\), \(−3\) et \(2\).
On note \(a \) le numéro apparu à la face inférieure du dé au premier lancer et \(𝑏\) celui de la face inférieure du dé au second lancer. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
1) A : « 𝐹 est une rotation ». 0,5pt
2) B : « (𝐶) est une ellipse ». 0,5pt
3) C: « (𝐶) est une hyperbole ». 0,5pt

Partie B: Évaluation des compétences : 5 points

Situation :

Le tableau ci-dessus présente l’évolution du prix du kg de cacao au Cameroun de 2015 à 2020. NGAHANG, jeune cultivateur, produit en moyenne 4.000 kg de cacao par an. Il ne compte que sur la vente de 2024 pour tôler sa maison dont le devis s’élève à 3.760.000 FCFA.
Son épouse, agent de collecte dans une micro finance créée en janvier 2006, doit partir de chez elle au quartier A à 7h30 pour le quartier M. Elle peut passer par les quartiers B, C, D, E, F et G. Le tableau ci-après indique les distances en hm qui séparent ces quartiers. Elle va à une vitesse moyenne de 7 hm/h et passe 35 minutes dans chaque quartier. Pour être à l’heure à la prière du soir, elle doit terminer le travail avant 15h.
Après un incendie qui a tout consumé dans cette micro finance en 2013, le comptable voudrait savoir la masse salariale de l’année 2006 pour préparer son bilan quinquennal. Il n’a pour seule informations que chaque année, la masse salariale de cette micro finance est égale 1,1 fois celle de l’année précédente, qu’il a déboursé de 2011 en 2014, la somme de 4.107.790.764 FCFA pour les salaires.

Tâches :
1) NGAHANG pourra-t-il tôler sa maison en 2024 comme prévu ? 1,5pt
2) L’épouse de NGAHANG pourra-t-elle participer aux prières ? 1,5pt
3) Quelle est la masse salariale de cette microfinance en 2006? 1,5pt
Présentation: 0,5pt