Partie A: Évaluation des ressources /15 points

Exercice 1 / 3 pts

l.1.a. Calculer \({\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^2}\) 0.25 pt
b) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) 1'équation \(4{X^2} + 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)X\) \( - \sqrt 2 = 0\) 0,75 pt
2. En déduire la résolution dans \(\left] { - \pi ,\pi } \right]\) de l'équation : \(4{\sin ^2}x + \) \(2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\sin x - \sqrt 2 = 0\) 0,5 pt
3.a. Placer les points A, B, C et D images respectives des réels \( - \frac{{3\pi }}{4}\), \( - \frac{\pi }{4}\), \(\frac{\pi }{6}\) et \(\frac{{5\pi }}{6}\) sur le cercle trigonométrique. 0,5 pt
b. Calculer l'aire du quadrilatère ABCD. 0,5 pt
ll. Soit \(\left( {{U_n}} \right)\) une suite arithmétique de premier terme \({U_0} = 2\) et de raison 3.
On pose \({S_n} = \sum\nolimits_{i = 0}^n {{U_i}} = \) \({U_0} + {U_1} + ... + {U_n}\) Calculer \({S_{10}}\).

Exercice 2 / 3 pts

Le plan est muni du repère orthonormé \((O, I, J)\). L'unité graphique est 1 cm. On donne les points \(E(1 ;-3)\) et \(F(1 ;3)\).
1. Déterminer les coordonnées du point \(K\) tel que \(E\) soit le symétrique de \(F\) par rapport à \(K\) 0,5 pt
2.a. Montrer que pour tout point \(M\) du plan, on a : \(\overrightarrow {ME} .\overrightarrow {MF} = M{K^2} - \frac{{E{F^2}}}{4}\) 0,75 pt
2.b. En déduire la nature de l'ensemble \(\left( \Gamma \right)\) des points \(M\) du plan tels que : \(\overrightarrow {ME} .\overrightarrow {MF} = - 5\) 0,5 pt
3. Déterminer l'ensemble \(\left( \sum \right)\) des points \(M\) du plan tels que: \(M{E^2} - M{F^2} = - 18\) 1,5 pt

Exercice 3 / 4 pts

Pour chacune des questions, il vous est proposé trois réponses parmi lesquelles une seule est juste; reproduire sur votre feuille de composition le numéro de la question et celui de la réponse juste correspondante.
1. Le plan vectoriel est rapporté a une base \(\left( {\overrightarrow i ,\overrightarrow j } \right)\) ; \(f\) est l’endomorphisme du plan défini pour tout vecteur \(\overrightarrow u (x,y)\) par \(f(\overrightarrow u ) = (2x - 2y)\overrightarrow i - \) \((x + y)\overrightarrow j \). Le noyau de \(f\) est : 1 pt
a.. \(\left\{ {\overrightarrow 0 } \right\}\)
b. La droite vectorielle de base \(\overrightarrow v = \overrightarrow i - 2\overrightarrow j \)
c. La droite vectorielle de base \(\overrightarrow w = - \overrightarrow i + \overrightarrow j \)
2. Le plan vectoriel est rapporté à une base \(\left( {\overrightarrow i ,\overrightarrow j } \right)\).
La matrice de l’endomorphisme \(g\) défini pour tout \(\overrightarrow u (x,y)\) par \(g(\overrightarrow u ) = ( - x - y)\overrightarrow i \) \( + (x - y)\overrightarrow j \) est : 1 pt
a) \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 1}\\1&{ - 1}\end{array}} \right)\) ;
b) \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right)\) ;
c) \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 1}\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right)\)
3. L'espace affine est rapporté au repère orthonormé \(\left( {O;\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k } \right)\). \(P\) et \(P'\) sont deux plans d'équations cartésiennes respectives: \(x - 2y + z + 2 = 0\) et \(x + y + z + 2 = 0\); les plans \(P\) et \(P'\) sont : 1 pt
a) Parallèles
b) Perpendiculaires
c) Confondus
4. Le plan affine euclidien est rapporté au repéré orthonormé \(\left( {O;\overrightarrow i ,\overrightarrow j } \right)\) le cercle \((C)\) d'équation cartésienne
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 4\), et la droite \((D)\) d'équation cartésienne \(3x+4y+11=0\) sont : 1 pt
a) Sécants
b). Tangents
c). Disjoints

Exercice 4 /5 pts

Soit \(h\) la fonction définie par: \(h(x) = ax + b + \frac{c}{{x - 1}}\) ou \(a\), \(b\) et \(c\) sont des réels à déterminer. On note \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (\(\left( {O;\overrightarrow i ,\overrightarrow j } \right)\); L'unité graphique est le centimètre.
1. Déterminer les réels \(a\), \(b\) et \(c\) sachant que \((C)\) passe par le point \(A(0; 2)\), admet comme centre de symétrie le point \(B( 1; 0)\) et la tangente \((T)\) à \((C)\) au point d'abscisse 2 est orthogonale a la droite \((D)'\) d'équation \(y = - \frac{1}{2}x + 1\) 1,5 pt
2. Soit \(g\) la fonction définie pour tout \(x \ne 1\) par \(g(x) = \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 1}}\).
a) Étudier les variations de \(g\) et dresser son tableau de variations. 1,5 pt
b) Déterminer les réels \(a\), \(b\) et \(c\) tels que pour tout réel \(x\) différent de 1 0.5 pt
\(g(x) = ax + b + \frac{c}{{x - 1}}\)
c) . En déduire que \((C)\) admet une asymptote oblique \((D)\) et préciser son équation. 0,5 pt
d. Construire l'asymptote verticale, \((D)\) et \((C)\) 1 pt

Partie B: Évaluation des compétences / 5 points

Situation problème
La compagnie TechAuto alloue chaque année 80 millions de FCFA pour l'entretien de ses équipements. Face à la hausse des coûts de maintenance, elle envisage deux options pour le contrat de service des 15 prochaines années :
Option Première : Une augmentation annuelle de 4% du contrat.
Option Seconde: Une augmentation annuelle fixe de 5 millions de FCFA. En 2020, une pièce spécifique coûte 80000 FCFA et se déprécie de 11% par an, tandis que le prix des pièces neuves similaires augmente de 2% annuellement.
Monsieur Fabien, voulant se lancer dans la vente de pièces détachées de véhicules sans capital de départ, envisage d'obtenir un prêt de 100 millions de FCFA auprès d'une banque à un taux annuel de 11%. Pour atteindre l’indépendance financière dans 5 ans, il compte rembourser le prêt par 5 paiements constants annuels.
Tâches:
1. Quelle option de contrat offre l'avantage économique le plus significatif pour TechAuto? 1,5 pt
2. Quel budget TechAuto doit-elle prévoir pour le remplacement de la pièce en question dans 2 ans? 1,5 pt
3. Quel sera le montant annuel que Monsieur Fabien doit payer à la banque ? 1,5 pt
Présentation: 0,5 pt