Partie A : Évaluation des ressources / 15 points

Exercice I / 3 pts

1. Montrons que la probabilité pour qu'une équation caractéristique de $(E)$ admette deux solutions réelles distinctes ou confondues est de $\frac{{29}}{{36}}$ 1,5 pt
Une équation caractéristique ${r^2} + 2ar + b = 0$ de $(E)$ admet deux solutions réelles ou confondues si et seulement si $4{a^2} - 4b \ge 0$, c'est-à-dire que ${a^2} \ge b$
Tableau de signes de $4{a^2} - 4b$
Il y'a 29 couples $(a, b)$ qui vérifient ${a^2} \ge b$, sur un total de 36 Donc cette probabilité est égale $\frac{{29}}{{36}}$.
2. Déterminons le nombre de fois au minimum dont on doit répéter cette expérience pour être sûr d'avoirr au moins 98% de chances que l'équation caractéristique de $(E)$ ait au moins une fois, deux solutions non réelles.
Désignons par $n$ ce nombre de fois. Ainsi, on a un schéma de Bernoulli de $n$ épreuves et dont la probabilité du succès est $p = 1 - \frac{{29}}{{36}} = \frac{7}{{36}}$
Avoir au moins une fois deux solutions non réelles c’est, soit 1 fois jusqu’à $n$ fois et dont la probabilité est $\sum\nolimits_{k = 1}^n {C_n^k} {\left( {\frac{7}{{36}}} \right)^k}{\left( {\frac{{29}}{{36}}} \right)^{n - k}}$
Il faut alors que $\sum\nolimits_{k = 1}^n {C_n^k} {\left( {\frac{7}{{36}}} \right)^k}{\left( {\frac{{29}}{{36}}} \right)^{n - k}} \ge 98\%$. Ce qui est-équivalent à $1 - C_n^0{\left( {\frac{{29}}{{36}}} \right)^n} \ge \frac{{98}}{{100}}$.
D'où $n \ge \frac{{\ln 50}}{{\ln 36 - \ln 29}} = 18,09$. Donc le nombre minimum de fois de répéter cette expérience est 19. 1,5 pt

Exercice II / 03 pts

1. Déterminons une base du noyau $\left( {Ker\varphi } \right)$ de $\varphi$, puis justifions que $\varphi$ n'est pas bijectif.
Soit $\overrightarrow u (x,y,z)$ un vecteur de ${E_3}$.
$\overrightarrow u \in Ker\varphi \Leftrightarrow \varphi (\overrightarrow u ) = \overrightarrow 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 0\\2x + y + 3z = 0\\ - x + y - 3z = 0\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2y\\z = y\end{array} \right.$.
Donc $\left( { - 2\overrightarrow i + \overrightarrow j + \overrightarrow k } \right)$ est une base du noyau $\left( {Ker\varphi } \right)$ de $\varphi$.
. Puisque ${Ker\varphi \ne \left\{ {\overrightarrow 0 } \right\}}$, alors $\varphi$ n'est pas bijectif. 1 pt
2.a Montrons que l'image $\left( {{\mathop{\rm Im}\nolimits} \varphi } \right)$ de $\varphi$ est un plan vectoriel de ${E_3}$.
On a $\dim \left( {{\mathop{\rm Im}\nolimits} \varphi } \right) = \dim {E_3}$ $- \dim \left( {Ker\varphi } \right) = 2$. Ainsi, ${{\mathop{\rm Im}\nolimits} \varphi }$ est un sous espace vectoriel de ${E_3}$ de dimension 2. Donc ${{\mathop{\rm Im}\nolimits} \varphi }$ est un plan vectoriel de ${E_3}$ 0,5 pt
2.b *Vérifions que $\varphi (\overrightarrow k ) = 2\varphi (\overrightarrow i ) - \varphi (\overrightarrow j )$
$2\varphi (\overrightarrow i ) - \varphi (\overrightarrow j ) =$ $2(\overrightarrow i + 2\overrightarrow j - \overrightarrow k ) -$ $(2\overrightarrow i + \overrightarrow j + \overrightarrow k ) =$ $3\overrightarrow j - 3\overrightarrow k = \varphi (\overrightarrow k )$ 0,5 pt
2.c. Déduisons-en une base de ${{\mathop{\rm Im}\nolimits} \varphi }$.
${{\mathop{\rm Im}\nolimits} \varphi }$ est engendrée par $\varphi (\overrightarrow i )$, $\varphi (\overrightarrow j )$ et $\varphi (\overrightarrow k )$. Et donc par $\varphi (\overrightarrow i )$ et $\varphi (\overrightarrow j )$ d'après la question 2. b.
Par conséquent, ($\varphi (\overrightarrow i )$, $\varphi (\overrightarrow j )$) constitue une base de ${{\mathop{\rm Im}\nolimits} \varphi }$ qui est un plan vectorielle d après la question 2.a 1 pt

Exercice III / 04 pts

1. Déterminons le sens de variation de $F$ sur $\left[ {1; + \infty } \right[$.
$F$ est dérivable sur $\left[ {1; + \infty } \right[$ et pour tout $x \in \left[ {1; + \infty } \right[$, $F'(x) = f(x)$ et $f(x)$ est strictement positif sur $\left[ {1; + \infty } \right[$. Donc $F$ est strictement croissante sur $\left[ {1; + \infty } \right[$. 0,25 pt
2.
a. Montrons que pour tout réel $t \ge 0$, $t + 2 \ge 2\sqrt 2 \sqrt t$.
Soit $t - 2\sqrt 2 \sqrt t + 2 =$ ${\left( {\sqrt t - \sqrt 2 } \right)^2}$. D’où $t - 2\sqrt 2 \sqrt t + 2 \ge 0$. Donc $t + 2 \ge 2\sqrt 2 \sqrt t$.0,25 pt
b. Déduisons-en que pour tout réel $x \ge 1$ , $F(x) \le \frac{1}{{2\sqrt 2 }}$ $\int_1^x {(t + 2){e^{1 - t}}} dt$ 0,5 pt
2.b soit $x \ge 1$ et $t \in \left[ {1;x} \right]$, d’après la question précédente (2.a), on a $2\sqrt 2 \sqrt t \le t + 2$. D’où $\int\limits_1^x {2\sqrt 2 \sqrt t {e^{1 - t}}dt} \le$ $\int\limits_1^x {\left( {t + 2} \right){e^{1 - t}}dt}$ car ${{e^{1 - t}} \succ 0}$, ainsi $2\sqrt 2 \int\limits_1^x {\sqrt t {e^{1 - t}}dt} \le \int\limits_1^x {(t + 2){e^{1 - t}}dt}$ d’où $F(x) \le \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\int\limits_1^x {(t + 2){e^{1 - t}}dt}$.
3.a. Montrons à l'aide d'une intégration par parties que $\int\limits_1^x {(t + 2){e^{1 - t}}dt} =$ $4 - (x + 3){e^{1 - x}}$
En définissant les fonctions $u$ et $v$ par $u(t) = t + 2$ et $v'(t) = {e^{1 - t}}$, on a $\int\limits_1^x {(t + 2){e^{1 - t}}dt} =$ $4 - (x + 3){e^{1 - x}}$ . 0,5 pt
3.b. Déduisons-en' que pour tout réel $x \ge 1$, $0 \le F(x) \le \sqrt 2$
Soit un réel $x \ge 1$. .
D'une part, pour tout $x \ge 1$, $f(x) \succ 0$. D'où $F(x) \ge 0$
D'autre part, d'après la question 2.b., $F(x) \le \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\int\limits_1^x {(t + 2){e^{1 - t}}dt}$ et d’après la question 3.a.
On a $F(x) \le \frac{1}{{2\sqrt 2 }}(4 -$ $(x + 3){e^{1 - x}})$ D'où $F(x) \le \frac{4}{{2\sqrt 2 }}$ car $(x + 3){e^{1 - x}} \succ 0$. Ainsi $F(x) \le \sqrt 2$
Donc pour tout réel $x \ge 1$, $F(x) \le \sqrt 2$ 0,5 pt
4.1. Étudions le sens de variation de la fonction $f$ sur $\left[ {0; + \infty } \right[$. 0,5 pt
$f$ est dérivable sur $\left[ {0; + \infty } \right[$ et pour tout $x \succ 0$, $f'(x) = \frac{{{e^{1 - x}}}}{{2\sqrt x }}\left( {1 - 2x} \right)$. Donc $f$ est strictement croissante sur $\left[ {0;\frac{1}{2}} \right]$, et strictement décroissante sur $\left] {\frac{1}{2}; + \infty } \right[$.
2. Montrons que pour tout entier naturel $n$, $f(n + 1) \le {u_n} \le f(n)$
Soient $n$ un entier naturel non nul et un réel $t \in \left[ {n;n + 1} \right]$
Ainsi $n \le t \le n + 1$, ce qui .entraine $f(n + 1) \le f(t) \le f(n)$ car $f$ est .décroissante sur $\left] {\frac{1}{2}; + \infty } \right[$ qui contient $\left[ {n;n + 1} \right]$. D’où $\int\limits_n^{n + 1} {f(n + 1)} dt \le$ $\int\limits_n^{n + 1} {f(t)} dt \le \int\limits_n^{n + 1} {f(n)} dt$
Donc $f(n + 1) \le \int\limits_n^{n + 1} {f(t)} dt \le f(n)$
43. (i) Déduisons-en que la suite $u$ est décroissante.
Soit $n$ un entier naturel.
$f(n + 2) \le {u_{n + 1}} \le f(n + 1)$ et $f(n + 1) \le {u_n} \le f(n)$ d’après la question 4.2.
Ainsi ${u_{n + 1}} \le {u_n}$.
Donc la suite $\left( {{u_n}} \right)$ est décroissante.
4.3. (ii) Déduisons-en que la suite $u$ est convergente. 0,5 pt
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^{\frac{1}{2}}}}}{{{e^x}}} = 0$ d'après les croissances comparées. D'où ' $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(n) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(n + 1)$, ainsi $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = 0$. Donc la suite $u$ est convergente.
N.B : On remarque aussi que la suite $u$ est décroissante et minorée par 0. Donc converge.

Exercice IV / 05 points

1. Montrons que l’équation de $\left( \Gamma \right)$ peut encore s'écrire : $\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{\alpha } - \frac{{{y^2}}}{\beta } = 1$ ou $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels strictement positifs que nous déterminerons. 1 pt
Soit $M(x; y)$ un point du plan complexe rapporte au repère $\left( {O;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)$. 1 pt
$M(x,y) \in \left( \Gamma \right) \Leftrightarrow$ $3{x^2} - {y^2} - 6x - 1 = 0$
$3{x^2} - {y^2} - 6x$ $- 1 = 0 \Rightarrow 3{(x - 1)^2}$ $- {y^2} = 4$ $\Rightarrow$ $\frac{{{{(x - 1)}^2}}}{{\frac{4}{3}}} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1$
Donc ${\alpha = \frac{4}{3}}$ et ${\beta = 4}$
2. Déduisons-en que $\left( \Gamma \right)$ est une hyperbole dont nous déterminerons le centre et les sommets par leurs coordonnées dans le repère $\left( {O;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)$ 1 pt
• $\left( \Gamma \right)$ est une hyperbole de par la forme de son équation réduite.
• Les coordonnées de son centre sont : $(1;0)$.
• Les coordonnées des sommets sont $\left( {\frac{{2\sqrt 3 }}{3} + 1,0} \right)$ et $\left( { - \frac{{2\sqrt 3 }}{3} + 1,0} \right)$
3. Déterminons la demi distance focale et l’excentricité de $\left( \Gamma \right)$ 0,5 pt
• La demi-distance focale est $\sqrt {\frac{4}{3} + 4} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}$
• L'excentricité est $\frac{{\frac{{4\sqrt 3 }}{3}}}{{\frac{{2\sqrt 3 }}{3}}} = 2$
4.1 Donnons la nature et les éléments caractéristiques de S. 1 pt
Nature : S est une similitude plane directe.
Éléments caractéristiques : rapport = 2 ; angle $\frac{\pi }{6}$ (modulo ${2\pi }$) ; centre d'affixe : $\frac{{1 - \sqrt 3 + i}}{{1 - 2{e^{i\frac{\pi }{6}}}}} = 1$
4. 2.a. Montrons que N est l'image de M par une transformation du plan dont nous donnerons la nature et les éléments caractéristiques. 1 pt
On a $IN = 2IM$ et $Mes\left( {\overrightarrow {IM} ;\overrightarrow {IN} } \right) = \frac{\pi }{6}$ deux ëgalités montrent que N est l'image de M par la similitude directe plane de centre I, de rapport 2 et d'angle $\frac{\pi }{6}$, Il s'agit de la similitude S.
4. 2. b. Déduisons-en la nature de l'ensemble $\left( {\Gamma '} \right)$ décrit par N lorsque le point M décrit l’ensemble $\left( {\Gamma } \right)$, puis précisons l’excentricité de $\left( {\Gamma '} \right)$. 0,5 pt
$\left( {\Gamma '} \right)$ est une hyperbole.
Son excentricité est égale 2.

Partie B : Évaluation des compétences 05 points

Tâche 1 : Déterminons le temps minimum après lequel on doit administrer ce produit aux maquereaux.
• Déterminons la quantité ${Q_n}$ de maquereaux dans l'étang 1 après $n$ mois.
Les quantités ${Q_n}$ sont des termes d’une suite géométriques de premier termes ${Q_0} = 250$ et de raison 1,2 : ${Q_n} = 250 \times {\left( {1,2} \right)^n}$
• Déterminons le minimum de mois après lesquels cette quantité aura au moins doublé.
Cette-quantité aura au moins doublé si et seulement si ${Q_n} \ge 2 \times {Q_0}$
Dou $250 \times {\left( {1,2} \right)^n} \ge 2 \times 250$ ainsi $n \ge \frac{{\ln 2}}{{\ln 1,2}} = 3,8$
Donc, c’est après au moins 4 mois qu’on doit administrer ce produit aux maquereaux.

Tâche 2 : Déterminons le temps minimum après lequel on doit administrer ce produit aux carpes.
• Déterminons la quantité $Q(t)$ carpes dans l'étang 2 après $t$ mois.
La vitesse d’accroissement $Q'(t)$ des carpes à un instant $t$ étant le cinquantième de leur quantité $Q(t)$ au même instant, alors $Q'(t) = \frac{1}{5}Q(t)$.
D'où $Q(t) = k{e^{\frac{1}{{50}}t}}$ et puisque $Q(0) = 450$ Alors $Q(t) = 450{e^{\frac{1}{{50}}t}}$
• Déterminons le minimum de mois après lequel cette quantité aura au moins doublé.
Cette quantité aura au moins doublé si et seulement si $Q(t) \ge 2Q(0)$
D'où $450{e^{\frac{1}{{50}}t}} \ge 2 \times 450$, ainsi $t \ge 50\ln 2$, c'est'-à-dire $t \ge 34,65$.
Donc, c'.est après au moins» 35 mois qu'on doit administrer ce produit aux carpes.

Tâche 3 : Vérifions si le restaurateur a au moins une chance sur deux de servir les deux clients dans l'ordre des commandes passées.
En suivant la consigne principale de ce restaurant-qui consiste à servir les clients-dans l'ordre de passage de leurs commandes (voir situation), la probabilité de servir des deux clients dans l'ordre des commandes passées est 1.
Le restaurateur a ainsi 100% de chance de servir ces -clients dans l'ordre. Donc au moins une chance sur deux.
N.B. Le texte lié à cette tâche présente des données superflues et quelques insuffisances.