Exercice Problème Epreuve de mathématiques au probatoire D et TI 2017
PROBLÈME(11 points)
Partie A
Soit f la fonction définie par :
\(f(x) = - x + 2\) \( - \frac{1}{{x - 2}}\)
et (C) sa courbe dans un repère orthonormé \((O,\overrightarrow i ,\overrightarrow j )\) (unités sur les axes : 1 cm) ^
1) Déterminer l'ensemble de définition de f. 0,5pt
2) a) Calculer les limites de f en : \( - \infty \), \( + \infty \), \({2^ - }\) et \({2^ + }\). 1pt
b) Justifier que la droite d'équation x=2 est asymptote verticale à (C). 0,5pt
3) Calculer f ‘(x) et justifier que \(f'(x) \ge 0 \Leftrightarrow \) \(x \in \left[ {1,2} \right[ \cup \left] {2,3} \right]\)1pt
4) a) Justifier que la droite d’équation \(y = - x + 2\) est une asymptote oblique à (C). 0.5 pt
b) Tracer (C) et ses asymptotes dans le repère orthonormé \((O,\overrightarrow i ,\overrightarrow j )\) 2 pts
c) Soit m un nombre réel quelconque. Déterminer suivant les valeurs de m, le nombre et le signe des solutions de l'équation \(f(x) = m\). 1,5 pt
Partie B
On considère l’équation (E) : \( - {x^2} + x(4 - m)\) \( - 5 + 2m = 0\) où x est l'inconnue et m un paramètre réel.
1) Justifier que 2 ne peut pas être solution de cette équation quelque soit m. 0,5pt
2) Montrer que pour tout réel x distinct de 2,
\( - {x^2} + x(4 - m)\) \( - 5 + 2m = 0\) \( \Leftrightarrow f(x) = m\) 0,75pt
3) a) Calculer le discriminant de (E) en fonction de m. 0,75pt
b) En déduire que l’équation (E) n’admet pas de solution si et seulement si \(m \in \left] { - 2,2} \right]\). 1pt
c) On suppose que \(m \in \left] { - 2,2} \right[\). Déterminer par calcul, les valeurs de m pour lesquels l'équation (E) admet deux solutions de signes contraires. 1pt
