Exercice 1 :3 points
On considère l'équation (E) :
\(2\sqrt 2 {\cos ^2}(x)\) \( + (2 - \sqrt 2 )\cos (x)\) \( - 1 = 0\)
et le polynôme
\(p(x) = \) \(2\sqrt 2 {\cos ^2}(x) + \) \((2 - \sqrt 2 )\cos (x) - 1\) \( = 0\)
de variable réelle x.
1- Calculer \(p(\frac{1}{2})\). 0.5 pt
2- Vérifier que le polynôme P(x) admet 2 racines distinctes. 0.5 pt
3- En utilisant la somme ou le produit des racines, déterminer l’autre racine. 0,5 pt
4- En déduire dans l'intervalle \(\left[ {0;2\pi } \right[\) l'ensemble solutions de l'équation (E ). 1 pt
5- Placer les points images des solutions de (E) sur un cercle trigonométrique. 0.5 Pt

Exercice 2 : 4 points
E est un plan vectoriel ; \(B = (\overrightarrow i ;\overrightarrow j )\) est une base de E et f est l’endomorphisme de E défini par :
\(f(\overrightarrow i - \overrightarrow j ) = 3\overrightarrow i + \overrightarrow j \) et \(f(\overrightarrow i + \overrightarrow j ) = - \overrightarrow i + 5\overrightarrow j \).

1- Montrer que la matrice de f dans la base B est \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\2&3\end{array}} \right)\). 0.75 pt
2- Soit g lendomorphisme de E défini par \(g(\overrightarrow i ) = \) \(\overrightarrow i - \overrightarrow j + f(\overrightarrow i )\) et \(g(\overrightarrow j ) = 8\overrightarrow i + f(\overrightarrow j )\).
a) Déterminer la matrice A de g dans la base B. 0,75 pt
b) Montrer que Kerg est une droite vectorielle dont une base est \(\overrightarrow {{e_1}} = 6\overrightarrow i - 2\overrightarrow j \). 0,75 pt
c) Montrer que lmg est une droite vectorielle dont une base est \(\overrightarrow {{e_2}} = 2\overrightarrow i + \overrightarrow j \) 0,75 pt
On pose \(B' = (\overrightarrow {{e_1}} ,\overrightarrow {{e_2}} )\).
d) Montrer que B’ est une base de E. 0,25 pt
e) Montrer que \(g(\overrightarrow {{e_2}} ) = 5\overrightarrow {{e_2}} \). 0,5 pt
f) En déduire la matrice A’ de g dans la base B’. 0,25 pt

Exercice 3 : 2 points
1- Déterminer les réels x et y tels que : : \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 40\\xy = 256\end{array} \right.\) 0,5 pt
2- a, b et c sont dans cet ordre trois termes consécutifs d'une suite géométrique à termes positifs et décroissante tels que :
\(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 56\\abc = 4096\end{array} \right.\)
a) Calculer \({16^3}\) et déterminer b. 0.5 pt
b) En déduire a et c

Problème 2 11 Points
Le problème comporte trois parties l, Il et lll.
Le plan est muni d'un repère orthonormé \((O,\overrightarrow i ,\overrightarrow j )\); on considère A(0; 2), B(-2 ;0) et C(2 ;0) trois points du plan. On note G le barycentre des points pondérés (A, 2) ; (B,1) et (C.1)-
l-1) Montrer que le point O est le milieu du segment [BC]. 0.5 pt
2) En déduire que le point G appartient à la droite (AO). 0,25 pt
3) Déterminer les coordonnées du point G. 0.5 pt
4) Montrer que pour tout point M du plan,
\({AM^2} + O{M^2}\) \( = 2G{M^2} + 2\) 0.5 pt
5) En déduire que l'ensemble ( T ) des points M du plan tels que : \(2A{M^2} + B{M^2}\) \( + C{M^2} = 28\) est un cercle dont on précisera le rayon et le centre. 0,75 pt
ll) Soit la fonction f définie de IR vers IR par \(f(x) = a{x^2}\) \( + bx + c\) où a, b et c sont trois réels. On suppose que la courbe de la fonction f passe par les points A, B et C.
1) Montrer que pour tout réel x, \(f(x) = - \frac{1}{2}{x^2} + 2\)1,5 pt
2) Résoudre dans IR, l'inéquation \(f(x) \succ 0\). 0.5 pt
lll) Soit g la fonction définie de IR vers IR par \(g(x) = \frac{{ - {x^2} + x - 4}}{x}\) , (C ) sa courbe représentative.
1) Déterminer l'ensemble de définition D de g. 0.5 pt
2) Déterminer les limites de g en \( - \infty \), \( + \infty \), \({0^ - }\) et \({0^ + }\); en déduire une équation de l’asymptote verticale à la courbe (C). 1,25 pt
3) Montrer que pour tout réel x différent de zéro, \(g'(x) = \frac{{2f(x)}}{{{x^2}}}\) où g’ est la fonction dérivée de g. 0,75 pt
4) Déduire de la question ll—2), le sens de variation de g et dresser son tableau de variation. 1pt
5) Montrer que pour tout réel x différent de zéro,
\(g(x) = - x + 1 - \frac{4}{x}\)
et en déduire que la droite (D ) d'équation \(y = - x + 1\) est asymptote oblique à la courbe (C ). 1 pt
6) Déterminer la distance du point G à la droite (D ) et en déduire que la droite (D) est sécante au cercle (T). Préciser les coordonnées de leurs points d'intersection. 1 pt
7) Tracer la courbe (C ) et ses asymptotes. ( unités sur les axes : 1cm) 1 pt